تمرين في المتتاليات العددية

العناصر التي يتطرق اليها التمرين او التي يغطيها :

دراسة دالة لوغارتمية نيبيرية
انشاء جدول تغيرات الدالة اللوغارتمية
استخدام البرهان بالتراجع
دراسة اتجاه تغير المتتالية المعرفة ب $u_0=1$ و $u_{n+1}=u_n-ln\left ( u_n^2+1 \right )$ من اجل كل عدد طبيعي n
اثبات محدودية المتتالية $\left ( u_n \right )$
تقارب المتتالية

نــــــص الــــتـــمـــريـــــن

لتكن الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ ب $f(x)=x-ln\left ( x^2+1 \right )$

حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $f(x)=x$
أدرس تغيرات الدالة $f$ ثم شكل جدول تغيراتها
برهن أنه من أجل كل $x$ من $\left [ 0,1 \right ]$ فان $f(x)\in\left [ 0,1 \right ]$

لتكن المتتالية $\left ( u_n \right )$ المعرفة ب $u_0=1$ ومن أجل كل عدد طبيعي n : $u_{n+1}=u_n-ln\left ( u_n^2+1 \right )$

برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي n فان $u_n$ ينتمي الى $\left [ 0,1 \right ]$
ادرس اتجاه تغير المتتالية $\left ( u_n \right )$
برهن أن المتتالية $\left ( u_n \right )$ متقاربة
نرمز ب $l$ نهاية المتتالية $\left ( u_n \right )$ ، نقبل أن $l$ يحقق المساوات التالية : $f(l)=l$ أوجد عندئذ $l$