Modélisation, équiprobabilité.

 

1. Espaces probabilisables.
     1.1. Expériences et événements aléatoires.
     1.2. Tribu d'événements.

                       a) Définitions : tribu d'événements, espace probabilisable.
                       b) Propriétés d'une tribu d'événements A.
                           1.— Ø Î A.
                           2.— Toute réunion finie d'éléments de A est un élément de A.
                           3.— Toute intersection finie d'éléments de A est un élément de A.
                           4.— Evénements élémentaires.
                       c) Exemples.
                           1.— Algèbre grossière d'événements.
                           2.— Algèbre de Bernoulli d'événements.
                           3.— Ensemble des parties de l'ensemble fondamental.
                      d) Algèbre d'événements engendrée par une partition.

  2. Probabilité.
     2.1. Définitions : probabilité, espace probabilisé, modèle, événements incompatibles.
     2.2. Propriétés, formule de Poincaré.

                   2.2.1. Evénements contraires.

                   2.2.2. Evénement impossible.

                   2.2.3. Croissance.

                   2.2.4. Probabilité d'une réunion finie, formule de Poincaré.

     2.3. Evénements élémentaires équiprobables.

 

1. Espaces probabilisables.

1.1. Expériences et événements aléatoires.

1.1.1. Expérience déterministe.

Si nous mesurons la différence de potentiel U qui existe aux bornes d'un circuit résistif de résistance R = 10 ohms et dans lequel circule un courant d'intensité i = 2 ampères, le voltmètre indiquera une différence de potentiel U = R i = 20 volts.

Le résultat de cette expérience est parfaitement déterminé par la connaissance des paramètres : on dit que l'expérience est déterministe.

1.1.2. Expérience aléatoire, ensemble fondamental.

Si nous lançons un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'expérience consiste à noter le numéro de la face supérieure.
Le résultat de l'expérience n'est pas connu a priori : nous disons alors que l'expérience est aléatoire.

L'ensemble W de tous les résultats possibles pour une expérience aléatoire E donnée s'appelle le référentiel, ou ensemble fondamental, de l'expérience aléatoire E.
L'ensemble W n'est pas déduit de manière unique de l'expérience aléatoire, mais dépend de l'usage qui doit être fait des résultats.
Un élément de l'ensemble fondamental s'appelle un résultat élémentaire.

Nous supposerons, dans un premier temps, que l'ensemble W des résultats élémentaires est un ensemble fini.

Dans l'expérience aléatoire du jet de dé, l'ensemble W est l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Les résultats élémentaires sont les nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1.1.3. Evénement.

Un événement est une assertion ou proposition logique relative au résultat d'une expérience.
On dira qu'un événement est réalisé ou non suivant que la proposition est vraie ou fausse une fois l'exéprience accomplie.
A la réalisation d'un événement, on peut associer tous les résultats correspondants de l'épreuve.
Un événement peut donc être identifié à une partie de W.
Les événements élémentaires apparaissent alors comme les parties de W réduites à un élément.

1.2. Tribu d'événements:

a) Définitions.

Soit A un ensemble d'événements.
A est une partie de l'ensemble P (W) des parties de l'ensemble fondamental W de l'expérience aléatoire E.
Nous dirons que A est une tribu d'événements de l'expérience aléatoire E si A vérifie les propriétés suivantes :

1.– W ΠA.
2.– A Î A Þ  Î A ( désigne le complémentaire _W A de A dans W) : A est stable par complémentation.
3.– Pour toute famille dénombrable (A _i) _i Î I d'éléments de A, A _i Î A : A est stable par réunion dénombrable.

On appelle espace probabilisable tout couple (W, A) dans lequel
     – W est l'ensemble fondamental d'une expérience aléatoire E,
     – A une tribu d'événements de l'expérience aléatoire E.

b) Propriétés d'une tribu d'événements.

Si A est une tribu d'événements d'une expérience aléatoire E d'ensemble fondamental W, A possède les propriétés suivantes.
1.— ؠΠA.

En effet, d'après la propriété 2 de la définition, le complémentaire d'un élément de A est un élément de A.
D'après la propriété 1 de la définition, W est un élément de A.
Par la règle dite règle de modus ponens, il résulte de ce qui précède que le complémentaire de W est un élément de A.
Or le complémentaire de W dans W est la partie vide Ø.
Donc la partie vide Ø est un élément de A.

2.— Toute réunion finie d'éléments de A est un élément de A.

C'est vrai déjà, d'après la propriété précédente A1, pour la réunion de 0 élément de A, qui est vide.
Supposons, hypothèse de récurrence, que la réunion de toute famille de n éléments de A soit un élément de A, pour un entier n ³ 0.
Considérons une famille (A _i) _{i Î {1, ... , n + 1}} de n + 1 éléments de A.
D'après l'hypothèse de récurrence, la réunion A ₁ U ... U A _n est un élément de A (cette réunion est vide si n = 0).
D'après la propriété 3 de la définition, comme A _{n + 1} et A ₁ U ... U A _n sont des éléments de A, leur réunion A ₁ U ... U A _n U A _{n + 1} est aussi un élément de A.
La propriété se trouve donc vraie pour n + 1 dès qu'elle est vraie pour n.
D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier n ³ 0.

3.— Toute intersection finie d'éléments de A est un élément de A.

A _i = 

Si les A _i sont des éléments de A, les complémentaires  sont des éléments de A, d'après la propriété 2 de la définition.
 est un élément de A, d'après la propriété précédente A2.
Le complémentaire  = A _i de cet élément  de A est un élément de A d'après la propriété 2 de la définition.

4.— Evénements élémentaires.
Dans une tribu finie d'événements A, les éléments minimaux pour l'inclusion, dans l'ensemble A* des événements non vides, sont appelés les événements élémentaires de A.
Propriété.

• Tout événement est réunion des événements élémentaires qu'il contient. • Les événements élémentaires contenus dans un événement non vide forment une partition de cet événement.

Démonstration.

1°/ Considérons un événement A Î A.
Soit (A _i) _i Î I la famille des événements élémentaires de A contenus dans A.
Soit B = A _i la réunion de cette famille.
B est un élément de A (propriété A2), contenu dans A.
Soit x un élément de W, appartenant à A et n'appartenant pas à B.
La famille des événements de A contenant x n'est pas vide, elle contient au moins A.
Soit X l'intersection de cette famille.
X est un élément de A (propriété A3), contenu dans A et non vide, puisqu'il contient x.
X est un élément minimal pour l'inclusion dans A*.
En effet, si X contenait strictement un autre événement non vide Y, Y ne contiendrait pas x, puisque X est contenu dans tout événement contenant x.
X I  serait alors un élément de A contenant x, donc contenant X, ce qui ne peut pas être, sinon X serait contenu dans , et serait donc sans point commun avec Y, contredisant le fait que Y est non vide et contenu dans X.
Mais si X est un élément minimal, donc un événement élémentaire, contenu dans A, c'est l'un des A _i.
L'élément x qui appartient à X appartient ainsi à l'un des A _i, donc à leur réunion B.
Ceci contredit notre hypothèse de choix de x, élément de W, appartenant à A et n'appartenant pas à B.
Il n'existe donc aucun x appartenant à A et n'appartenant pas à B : c'est que A est égal à B.
Et A est la réunion des événements élémentaires qu'il contient.
2°/ Si A n'est pas vide, il contient au moins un élément x.
Comme précédemment, l'intersection X de la famille des événements contenant x est un événement élémentaire contenant x et contenu dans A.
Donc la famille des événements élémentaires contenus dans A n'est pas vide.
A chaque élément x de A, on peut ainsi faire correspondre un événement élémentaire contenant x et contenu dans A.
Comme A est fini, la famille F des événements élémentaires ainsi définie est finie.
L'intersection de deux événements élémentaires différents est vide, sinon on pourrait trouver un événement non vide strictement plus petit que les deux autres, ce qui n'est pas possible, s'agissant d'éléments minimaux dans A*.
On peut alors extraire de la famille F une famille d'événements élémentaires distincts, et tout événement élémentaire contenu dans A est un élément de cette famille extraite.
D'après ce qui précède, A est réunion de cette famille : celle-ci forme donc une partition de A.

En particulier, si W est fini, W est réunion des événements élémentaires de A, puisque c'est un événement de A qui contient tous les événements élémentaires de A.

c) Exemples.

1.— Algèbre grossière d'événements.
A = {W, Ø} est une algèbre d'événements, appelée l'algèbre grossière des événements.

En effet, les trois axiomes de la définition sont trivialement vérifiés, compte tenu des relations :

W U Ø = W, W U W = W, Ø U Ø = Ø,  = Ø,  = W.
Il y a un seul événement élémentaire, W.

2.— Algèbre de Bernoulli d'événements.

Si A est un événement non vide, A = {W, A, , Ø} est une algèbre d'événements qu'on appelle une algèbre de Bernoulli d'événements.

En effet, W est un élément de A, par définition.
La réunion de deux éléments de A est un élément de A :

W U W = W U A = A U W = W U  =  U W = W U Ø = Ø U W = A U  =  U A = W Î A.
A U A = A U Ø = Ø U A = A Î A.
 U  =  U Ø = Ø U  =  Î A.
Ø U Ø = ؠΠA.

Le complémentaire d'un élément de A est un élément de A.

 = ؠΠA.
 Î A.
 = A Î A.
 = W Î A.

Les événements élémentaires sont A et .
Toute algèbre d'événements possédant l'événement A comme élément contient cette algèbre de Bernoulli d'événements.
Cette algèbre de Bernoulli d'événements contenant A est donc la plus petite algèbre d'événements contenant A.
On l'appelle l'algèbre d'événements engendrée par A.
3.— Ensemble des parties de l'ensemble fondamental.
L'ensemble P (W) des parties de W est une algèbre d'événements.

En effet, W est une partie de W (appelée la partie pleine).
La réunion de deux parties de W est une partie de W.
Le complémentaire d'une partie de W est une partie de W.

Les événements élémentaires sont les parties de W réduites à un seul élément de W.
Exemple : dans l'expérience aléatoire du jet de dé, les événements élémentaires sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
Tout événement est réunion des événements élémentaires qu'il contient.
Exemple : dans l'expérience aléatoire du jet de dé, l'événement "le résultat du lancer est un nombre pair" est {2, 4, 6} = {2} U {4} U {6}.
d) Algèbre d'événements engendrée par une partition.
Une partition finie (A _i)_{i Î {1, ... , n}} de W ne peut constituer, en elle-même, une algèbre d'événements.

En effet, la réunion de deux éléments distincts d'une partition n'est jamais un élément de la partition, puisque deux éléments distincts d'une partition sont sans point commun. Par ailleurs, la partie vide est un élément de toute algèbre d'événements et aucun élément d'une partition n'est vide.

Par contre, les réunions de famille sont des événements et les réunions A _i des familles d'éléments de la partition, pour tous les I Î P([1, n]), forment une algèbre d'événements, qu'on appelle l'algèbre d'événements engendrée par la partition.
Une partition finie de W s'appelle un système complet d'événements.
Les événements élémentaires de l'algèbre engendrée par la partition (A _i)_{i Î {1, ... , n}} sont constitués des événements (A _i)_{i Î {1, ... , n}} de la partition.
Toute algèbre d'événements est engendrée par ses événements élémentaires : en effet, tous les événements de l'agèbre d'événements sont réunions des événements élémentaires qu'ils contiennent.

Exemple :

Etant donnés deux événements A et B, les événements A I B, A I ,  I B,  I , s'ils ne sont pas vides, forment une partition de W et engendrent une algèbre d'événements, formée des réunions des 2 ⁴ = 16 familles possibles de ces événements, et dont les événements élémentaires sont A I B, A I ,  I B,  I .

2. Probabilité.

2.1. Définition : probabilité, espace probabilisé, modèle, événements incompatibles.

Soit (W, A) un espace probabilisable dont l'ensemble fondamental W est fini, de cardinal N.
On appelle probabilité sur cet espace probabilisable, toute application P de A dans l'intervalle [0, 1] de R, qui vérifie les deux propriétés suivantes :

P1.— P (W) = 1
P2.— A I B = Ø Þ P (A U B) = P (A) + P (B)

La propriété P2 s'appelle l'axiome des probabilités totales.
Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide, on dit qu'ils sont incompatibles.
Par une récurrence immédiate, on voit que l'axiome des probabilités totales peut se généraliser à n'importe quelle famille finie (A _i) _{i Î {1, ... , n}} d'événements incompatibles deux à deux, c'est-à-dire vérifiant l'axiome : (" i)(" j)(i Î [1, n] et j Î [1, n] et i ¹ j Þ A _i I A _j = Ø).

P  A i =  P(Ai)

On appelle espace probabilisé tout triplet (W, A, P) dans lequel (W, A) est un espace probabilisable et P une probabilité sur cet espace probabilisable.
On appelle modèle d'une expérience aléatoire la donnée d'une espace probabilisé (W, A, P) dans lequel l'algèbre d'événements A. est engendrée par un système complet d'événements.

2.2.1. Evénements contraires.

Deux événements sont dits contraires s'ils sont complémentaires l'un de l'autre.
En particuliers, deux événements contraires sont incompatibles : leur intersection est vide.
Pour tout événement A, A et  sont des événements contraires.

A I  = Ø Þ P (A U ) = P (A) + P ()
A U  = W Þ P (W) = P (A) + P ()
P (W) = 1 Þ P (A) + P () = 1

P (A) + P () = 1

2.2.2. Evénement impossible.

Un événement est dit impossible si sa probabilité est nulle.
La partie vide est un événement impossible.
La propriété précédente  P (A) + P () = 1 donne, pour A = W, P (W) + P (Ø) = 1.
P (W) = 1 Þ P (Ø) = 0.

P (Ø) = 0

2.2.3. Croissance.

Si l'événement A est contenu dans l'événement B, alors P (A) est inférieure ou égale à P (B).

A Ì B Þ P (A) £ P (B)

En effet :

A Ì B Û A I B = A
A I B = A Þ B = (B I A) U (B I ) = A U (B I ),
A I (B I ) = Ø Þ P (B) = P (A I (B I )) = P (A) + P (B I )
P (B I ) Î [0, 1] et P (B) = P (A) + P (B I ) Þ P (B) ³ P (A)

En définitive, on obtient bien :  A Ì B Þ P (A) £ P (B).
Toute probabilité est une application croissante.

2.2.4. Probabilité d'une réunion finie.

A U B = A U (B I )
A I (B I ) = Ø Þ P (A U B) = P (A U (B I )) = P (A) + P (B I )

P (B I ) = P (A U B) – P (A)

B = (B I A) U (B I )
(B I A) I (B I ) = Ø Þ P (B) = P ((B I A) U (B I )) = P (B I A) + P (B I )

P (B I ) = P (B) – P (B I A) = P (B) – P (A I B)
P (A U B) – P (A) = P (B) – P (A I B)

P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A I B)

Généralisation : formule de Poincaré.

La formule précédente se généralise à la réunion d'une famille (A _i) _{i Î {1, ... , n}} de n événements, éléments de A.
On intersecte les événements distincts par 1, par 2, par 3, etc., en alternant les signes :

P  A i =  P(A i) –  P (A i I A j) + ... + (–1) n P (A 1 I ... I A n)

Cette formule est appelée la formule de Poincaré.
Pour la démontrer, on raisonne par récurrence sur l'entier n ³ 1.

2.3. Evénements élémentaires équiprobables dans P (W).

Soit W l'ensemble fondamental, supposé fini de cardinal N, associé à une épreuve aléatoire E, P (W) la tribu d'événements des parties de W.
Une probabilité P sur l'espace probabilisable (W, P (W)) peut se définir en associant à chaque événement élémentaire {w _i}, w _i Î W, un nombre réel p _i, avec :

p _i = P ({w _i}) (qu'on note aussi P (w _i)).

• (" i)(i Î [1, N ] Ì N Þ p _i Î [ 0, 1 ] Ì R) [les p _i sont des nombres réels compris entre 0 et 1].
• p _i = P ({w _i}) = P {w _i} = P (W) = 1 [la somme des p _i est égale à 1].

Comme chaque événement est réunion des événements élémentaires qu'il contient, la probabilité d'un événement A est donnée par :

P (A) = P { w } =  P ({ w })
Un cas particulier important est celui où tous les événements élémentaires ont la même probabilité p.
La relation p _i = 1 s'écrit N p = 1, soit p = .
La probabilité d'un événement A qui est réalisé dans n événements élémentaires est alors donnée par :

P (A) =  P ({ w }) = Card (A) ×  = 
La probabilité d'un événement A est le rapport entre le nombre de cas favorables n et le nombre de cas possibles N.

P (A)=