Fonction génératrice.

1. Fonction génératrice.

1.1. Définition.
1.2. Propriété fondamentale.
1.3. Fonction génératrice et probabilités.

2. Moments factoriels et moments.

2.1. Définition.
2.2. Espérance et variance.
2.3. Calcul des moments.

1. Fonction génératrice.

1.1. Définition.

Etant donnée une variable aléatoire discrète X, à valeurs entières (X (W) Ì N), on appelle fonction génératrice de X, l'application g _X : R ® R définie, lorsqu'elle existe, par :

g _X (u) = E (u ^X).
Par définition de l'espérance mathématique d'une fonction aléatoire, on a donc, s'agissant d'une variable aléatoire à valeurs entières :

g _X (u) = P (X = n) u ⁿ

1.2. Propriété fondamentale.

La fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est le produit des fonctions génératrices de chaque variable.

g_{X + Y} (u) = E (u ^{X + Y}) = E (u ^X u ^Y) = E (u ^X) E (u ^Y) = g_X (u) g_Y (u)

 Savoir calculer la loi de probabilité à partir de la fonction génératrice.

La définition de la fonction génératrice conduit à :

g_X (u) = P (X = n) u ⁿ
donc la probabilité que X égale n est le coefficient de u ⁿ dans le développement en série entière de g_X (u) au voisinage de 0.
Si on développe g_X (u) en série de Taylor, sous la forme :

g_X (u) =  u ⁿ
comme le développement en série entière est unique, on obtient, par identification :

P (X = n) =

Remarque.

Si la fonction génératrice de X est un polynôme, les valeurs de X sont les puissances de u et la probabilité d'une valeur n est le coefficient de u ⁿ dans le polynôme.

Moment factoriel d'ordre k.

Pour k ³ 1, on appelle moment factoriel d'ordre k l'espérance mathématique de X (X – 1) ( ... ) (X – (k – 1)) :

M k = E (X (X – 1) ( ... ) (X – (k – 1))) = g X (k) (1)

Par extension de la définition, on appelle moment factoriel d'ordre 0 la valeur de la fonction génératrice pour u = 1 :

M ₀ = E (1) = g _X (1) = 1 = P (X = n) (condition de normalisation).
Les moments factoriels interviennent dans le développement de la fonction génératrice en série entière au voisinage de 1 :

g _X (1 + v) =  v ⁿ =  v ⁿ.

Espérance mathématique et variance.

E (X) = M 1 = g ' X (1) Var (X) = M 2 + M 1 – M 1 ² = g " X (1) + g ' X (1) – (g ' X (1))²

Moments.

Les moments m _n = E (X ⁿ) peuvent s'exprimer de façon linéaire par rapport aux moments factoriels M _k :


Si l'on note p (n, k) l'élément de la n ^e ligne dans la k ^e colonne de la matrice, on peut calculer cet élément par récurrence à partir des formules :

p (n, 1) = 1,
p (1, k) = 0 pour k > 1,
p (n, k) = p (n – 1, k – 1) + k p (n – 1, k)

autrement dit pour calculer un élément, on prend l'élément situé dans la ligne au-dessus dans la même colonne, on le multiplie par le numéro de la colonne, et on y ajoute le premier élément à gauche dans cette ligne du dessus (un peu comme dans le triangle de Pascal, sauf qu'il faut multiplier l'élément au-dessus par le numéro de colonne).
p (n, k) est le nombre de partitions en k classes d'un ensemble à n éléments.

m _n = p (n, k) M _k = p (n, k) g _X ^(k) (1)