Mathématiques Obligatoire (Antilles-Guyane)

Mathématiques Obligatoire (Antilles-Guyane) - Bac S 2019

Filière du bac : S
Epreuve : Mathématiques Obligatoire
Niveau d'études : Terminale
Année : 2019
Session : Normale
Centre d'examen : Antilles-Guyane
Date de l'épreuve : 18 juin 2019
Durée de l'épreuve : 4 heures

Calculatrice : Autorisée

Extrait de l'annale :
Exercice 1 :
C'est un exercice d'analyse numérique d'une fonction avec exponentielle. Il faut résoudre une équation, déterminer la dérivée, calculer la limite et en déduire une primitive.
Exercice 2 :
Alex et Elisa, deux pilotes de drones, s'entraînent sur un terrain constitué d'une partie plane qui est bordée par un obstacle. C'est un exercice de géométrie dans l'espace. Le candidat doit déterminer une équation cartésienne d'un plan, calculer des coordonnées et des distances minimales.
Exercice 3 :
Il s'agit d'un Vrai/Faux avec 4 questions à traiter sur les nombres complexes.
Exercice 4 :
Lors d'une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. C'est un exercice avec des calculs de probabilités conditionnelles en utilisant un arbre pondéré, la loi normale et la loi exponentielle.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2019

MATHÉMATIQUES

DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures. - COEFFICIENT : 7

L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.

Le sujet est composé de qu atre exercices indépendants. Le candidat doit tra iter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut adm ettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fru ctueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédactio n, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte d ans l'appréciation des copies.

Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A Soit $a$ et $b$ des nombres réels.  On considère une fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par :  $f(x)=\frac{a}{1+e^{-bx}}$ La courbe $(C_f)$  représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.  La courbe $(C_f)$  passe par le point $A(0;0,5)$. La tangente à la courbe $(C_f)$au point $A$ passe par le point $B(10;1)$. 1.    Justifier que $a=1$. On obtient alors, pour tout réel $x \geq 0$,:                                 $f(x)=\frac{1}{1+e^{-bx}}$                                                   2.   On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\left[0;+\infty\right[$ et on note $f$ sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel $x \geq 0$ : $f(x)=\frac{be^{-bx}}{(1+e^{-bx})^2}$  3.    En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$. Partie B La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par :                                                             $f(x)=\frac{1}{1+e^{-0.2x}}$ Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1er janvier 2000. Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années. Ainsi, pour ce modèle,$p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003. 1.    Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième. 2. a.    Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $\left[0;+\infty\right[$. b.    Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$. c.    Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. 2.    On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse $95\%$, le marché est saturé. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit. 3.    On définit la proportion moyenne d'individus équipés entre $2008$ et $2010$ par $m=\frac{1}{2}\int_{8}^{10}p(x)dx$ a.    Vérifier que, pour tout réel $x \geq 0$  :  $p(x)=\frac{e^{0.2}}{1+e^{0.2x}}$ b.    En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $\left[0;+\infty\right[$. c.    Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième. Exercice 2 (5 points) Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Alex et Élisa, deux pilotes de drones, s'entraînent sur un terrain constitué d'une partie plane qui est bordée par un obstacle. On considère un repère orthonormé  $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ , une unité correspondant à dix mètres. Pour modéliser le relief de la zone, on définit six points $O,P,Q,T,U$ et $V$ par leurs coordonnées dans ce repère : $O(0;0;0),P(0;10;0),Q(0;11;1),T(10;11;1),U(10;10;0)$ et $V(10;0;0)$ La partie plane est délimitée par le rectangle OPUV et l'obstacle par le Les deux drones sont assimilables à deux points et on suppose qu'ils suivent des trajectoires rectilignes : •     le drone d'Alex suit la trajectoire portée par la droite $(AB)$ avec $A(2;4;0,25)$ et                                      $B(2;6;0,75)$  •     le drone d'Élisa suit la trajectoire portée par la droite $(CD)$ avec $C(4;6;0,25)$ et                                     $D(2;6;0,25)$ Partie A : Étude de la trajectoire du drone d'Alex 1.     Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$. 2. a.    Justifier que le vecteur $n(0;1;-1)$ est un vecteur normal au plan  $(PQU)$ . b.     En déduire une équation cartésienne du plan  $(PQU)$. 3. Démontrer que la droite $(AB)$ et le plan $(PQU)$ sont sécants au point $I$ de coordonnées $\left(2;\frac{37}{3};\frac{7}{3}\right)$ . 4.    Expliquer pourquoi, en suivant cette trajectoire, le drone d'Alex ne rencontre pas l'obstacle. Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires Pour éviter une collision entre leurs deux appareils, Alex et Élisa imposent une distance minimale de $4$ mètres entre les trajectoires de leurs drones. L'objectif de cette partie est de vérifier si cette consigne est respectée. Pour cela, on considère un point $M$ de la droite $(AB)$ et un point $N$ de la droite $(CD)$ Il existe alors deux réels $a$ et $b$ tels que $AM=aAB$ et $CN=bCD$. On s'intéresse donc à la distance $MN$. 1.    Démontrer que les coordonnées du vecteur $MN$ sont $(2-2b;2-2a;-0,5a)$. 2.    On admet que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires. On admet également que la distance $MN$ est minimale lorsque la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la fois à la droite $(AB)$ et à la droite $(CD)$. Démontrer alors que la distance $MN$ est minimale lorsque $a=\frac{16}{17}$ et                                                         $b=1$. 3.     En déduire la valeur minimale de la distance $MN$ puis conclure. Exercice 3 (4 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On considère le nombre complexe $c=\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$ et les points $S$ et $T$ d'affixes respectives $c^2$ et $\frac{1}{c}$ . 1.     Affirmation 1 : Le nombre $c$ peut s'écrire $c=\frac{1}{4}()1-i\sqrt{3}$. 2.     Affirmation 2 : Pour tout entier naturel $n,c^{3n}$ est un nombre réel. 3.     Affirmation 3 : Les points $O,S$ et $T$ sont alignés. 4.     Affirmation 4 :       Pour tout entier naturel non nul $n$ :                 $\vert c \vert+\vert c^2 \vert+\cdots+ \vert c^n\vert=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$ Exercice 4 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A Lors d'une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d'analyse de ce match. On dispose des informations suivantes : • $56\%$ des téléspectateurs ont regardé le match ; • un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l'émission ; • $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé l'émission. On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements : •       $M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ; •       $E$ : « le téléspectateur a regardé l'émission ». On note $x$ la probabilité qu'un téléspectateur ait regardé l'émission sachant qu'il n'a pas regardé le match. 1.     Construire un arbre pondéré illustrant la situation. 2.     Déterminer la probabilité de MnE. 3.     a. Vérifier que $P(E)=0,44x+0,14$. b. En déduire la valeur de $x$ . 4.    Le téléspectateur interrogé n'a pas regardé l'émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'il ait regardé le match ? Partie B Pour déterminer l'audience des chaînes de télévision, un institut de sondage recueille, au moyen de boîtiers individuels, des informations auprès de milliers de foyers français. Cet institut décide de modéliser le temps passé, en heure, par un téléspectateur devant la télévision le soir du match, par une variable aléatoire $T$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma =0,5$. 1.  Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match ? 2.   Déterminer l'arrondi à $10^{-2}$ du réel t tel que  $P(T>t)=0,066$ . Interpréter le résultat. Partie C La durée de vie d'un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une variable aléatoire notée $S$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif. On rappelle que la densité de probabilité de $S$ est la fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$  par : $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ L'institut de sondage a constaté qu'un quart des boîtiers a une durée de vie comprise entre un et deux ans. L'usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure à trois ans. L'affirmation de l'usine est-elle correcte ? La réponse devra être justifiée