Loi binomiale.

1. Loi de Bernoulli.

1.1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire X est une variable de Bernoulli de paramètre p si sa loi de probabilité est :

x k	0	1
p k	q	p

avec p + q = 1. Cette loi est notée B (1 ; p) et on note X  B (1 ; p) la relation "X suit la loi de Bernoulli de paramètre p".

1.2. Propriétés.

Si X  B (1 ; p) :

E (X) = p
Var (X) = p q
g _X (u) = E (u ^X) = q + p u

2. Loi binomiale.

2.1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p (relation notée X  B (n ; p)) si sa loi de probabilité est donnée par :

P (X = k) =  p ^k q ^{n – k}, k = 0, ... , n.

avec p + q = 1, et où  =  est le coefficient binomial d'indices n et k.
Pour le coefficient binomial , on utilise parfois l'ancienne notation C .

2.2. Propriétés de la loi binomiale.

g_X (u) =  p ^k q ^{n – k} u ^k =  (p u) ^k q ^{n – k} = (p u + q) ⁿ (formule du binôme)
E (X) = g' _X (1) = n p (q + p u) ^{n – 1} = n p car q + p = 1.
Var (X) = g" _X (1) + g' _X (1) – (g' _X (1)) ²
   = n (n – 1) p ² (q + p u) ^{n – 2} + n p – n ² p ²
   = n p ((n – 1) p + 1 – n p) = n p q.

2.3. Interprétation de la loi binomiale.

Pour n = 1, B (1 ; p) est la loi de Bernoulli.

Soit E l'épreuve aléatoire consistant en n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli, E ₁, ... , E _n, de même paramètre p.
Soit X le nombre de succès obtenus.
Les valeurs de X vont de 0 à n.
La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres n et p.

En effet, une épreuve de Bernoulli admet deux résultats possibles : l'échec, noté 0, de probabilité q, et le succès, noté 1, de probabilité p, avec p + q = 1.
Si E est l'épreuve aléatoire consistant en n répétitions indépendantes E ₁, ... , E _n, d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p, un résultat possible de E est une suite de n nombres 0 ou 1, indiquant le résultat de chaque épreuve de Bernoulli.
Comme les épreuves sont indépendantes, les probabilités se multiplient et la probabilité d'un résultat particulier comportant k succès et (n – k) échecs est p ^k q ^{n – k}.
Le nombre de résultats possibles comportant k succès et (n – k) échecs est égal au nombre de choix possibles de la position des k succès, représentés par des 1, dans la suite des n résultats : c'est le nombre des combinaisons des n places, k à k, soit .
La probabilité d'avoir k succès, dans aussi (n – k) échecs, est donc donnée par  p ^k q ^{n – k}.

En pratique, toute variable binomiale de paramètre n et p, peut toujours s'interpréter comme le nombre de succès dans une répétition indépendante n fois d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Remarquons aussi que si l'on note X ₁, ... , X _n, les variables de Bernoulli associées aux épreuves de Bernoulli indépendantes successives E ₁, ... , E _n, le nombre de succès X est la somme X ₁ + ... + X _n.
Une variable binomiale de paramètres n et p est somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
Chaque variable de Bernoulli a, pour fonction génératrice, (q + p u).
On a alors le résultat :

(q + p u) ⁿ = g _{X 1 + ... + X n} (u) = g _X 1 (u) ... g _X n (u)

Cette propriété caractérise les variables aléatoires dites indépendantes : deux variables aléatoires à valeurs entières sont indépendantes si, et seulement si, la fonction génératrice de leur somme est le produit de leurs fonctions génératrices.

2.4. Exemple : tirage avec remise.

Considérons une urne contenant N boules, dont n ₁ boules blanches et n ₂ boules noires, avec N = n ₁ + n ₂.
On tire une boule au hasard dans l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne (c'est ce qu'on appelle un tirage non exhaustif).
Si la boule est blanche, c'est le succès, noté 1, de probabilité p = .
Si elle est noire, c'est l'échec, noté 0, de probabilité q = .
On effectue ainsi n tirages successifs avec remise.
Au bout de n tirages, la probabilité d'avoir tiré k fois une boule blanche est donnée par la loi binomiale :

P (X = k) =  p ^k q ^{n – k},

où p est la proportion de boules blanches et q la proportion de boules noires.

Le modèle de l'urne avec tirages non exhaustifs peut être utilisé chaque fois que le paramètre p de la loi binomiale est un nombre rationnel.

2.5. Loi des fréquences.

Soit X une variable binomiale de paramètres n et p.
Considérons la variable F = , qu'on appelle la variable fréquence.
Nous avons :

E (F) = E  =  E (X) =  n p = p.
Var (F) = Var  =  Var (X) =  n p q = .