Probabilité conditionnelle, indépendance.
1. Probabilité conditionnelle, définition.
2. Indépendance.
2.1. Définition.
2.2. Extension de la définition d'une probabilité conditionnelle.
2.3. Indépendance et incompatibilité.
2.4. Généralisation.
3. Système complet d'événements, formule de Bayes.
3.1. La formule sous sa forme générale.
3.2. Cas particulier de la formule de Bayes.
3.3. Exemple et interprétation.
1. Probabilité conditionnelle, définition
Soit (W, A, P) un espace probabilisé (W fini).
Soit B Î A, un événement de probabilité différente de 0 : P (B) ¹ 0.
Soit A Î A, un événement.
Soit B Î A, un événement de probabilité différente de 0 : P (B) ¹ 0.
Soit A Î A, un événement.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, ou probabilité conditionnée de A par B, le nombre réel :
P (A | B) =  |
L'application A 
P (A | B) de A dans R définit une probabilité sur (W, A).
P (A | B) de A dans R définit une probabilité sur (W, A).En effet :
a) Comme P est une probabilité, ses valeurs sont positives et comprises entre 0 et 1, donc, pour tout A Î A, P (A | B) est positif.
b) Comme A I B est contenu dans B et que l'application P est croissante, P (A I B) est inférieur ou égal à P (B), donc le rapport
c) P (W | B) ==
= 1.
d) Soient A 1 et A 2 deux événements incompatibles (A 1 I A 2 = Ø).
P ((A 1 U A 2) | B) = =
(A 1 I B) I (A 2 I B) Ì A 1 I A 2 = Ø Þ (A 1 I B) I (A 2 I B) = Ø
(A 1 I B) I (A 2 I B) = Ø Þ P ((A 1 I B) U (A 2 I B)) = P (A 1 I B) + P (A 2 I B)
A 1 I A 2 = Ø Þ P ((A 1 U A 2) | B) = +
A 1 I A 2 = Ø Þ P ((A 1 U A 2) | B) = P (A 1 | B) + P (A 2 | B).
2. Indépendance
2.1. Définition.
La relation de définition de la probabilité conditionnelle de A lorsque B est réalisé, P (A | B) = peut être écrite :
peut être écrite :
Si la probabilité de A n'est pas nulle, on peut écrire aussi :
Deux événements A et B sont dits indépendants en probabilité, ou, simplement, indépendants, s'ils vérifient la relation :
| P (A I B) = P (A) P (B) |
Pour des événements de probabilité non nulle, les propriétés suivantes sont équivalentes :
— A et B sont indépendants.
— P (A I B) = P (A) P (B).
— P (A | B) = P (A).
— P (B | A) = P (B).
L'information donnée par la réalisation de A sur la réalisation de B est nulle et l'information donnée par la réalisation de B sur la réalisation de A est nulle.
— A et B sont indépendants.
— P (A I B) = P (A) P (B).
— P (A | B) = P (A).
— P (B | A) = P (B).
L'information donnée par la réalisation de A sur la réalisation de B est nulle et l'information donnée par la réalisation de B sur la réalisation de A est nulle.
2.2. Extension de la définition d'une probabilité conditionnelle.
La définition de la probabilité conditionnelle de A lorsque B est réalisé, peut s'étendre au cas où la probabilité de B est nulle.
Si P (B) = 0, B est indépendant de tout événement A, et tout événement A est indépendant de B, puisque P (A I B) = P (A) P (B).
Nous dirons, dans ce cas, que P (A | B) = P (A), par définition.
Si P (B) = 0, B est indépendant de tout événement A, et tout événement A est indépendant de B, puisque P (A I B) = P (A) P (B).
Nous dirons, dans ce cas, que P (A | B) = P (A), par définition.
D'où la nouvelle définition :
Etant donnés deux événements A et B, on appelle probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, ou probabilité conditionnée de A par B, le nombre réel :
|
Cette extension de la définition permet d'écrire la formule :
dans tous les cas.
2.3. Indépendance et incompatibilité.
Il convient de ne pas confondre indépendance et incompatibilité.
L'indépendance est une question de probabilité : si on change la probabilité, deux événements précédemment indépendants peuvent ne plus être indépendants.
L'incompatibilité ne fait pas intervenir la probabilité : une intersection vide reste vide quelque soit la probabilité.
L'indépendance est une question de probabilité : si on change la probabilité, deux événements précédemment indépendants peuvent ne plus être indépendants.
L'incompatibilité ne fait pas intervenir la probabilité : une intersection vide reste vide quelque soit la probabilité.
2.4. Généralisation.
La formule
peut être généralisée.
| P (A I B I C) = P (A) P (B | A) P (C | A I B) |
En effet, on peut écrire successivement :
Nous dirons que les trois événements A, B, C sont indépendants dans leur ensemble si, et seulement si, les quatre relations suivantes sont vérifiées :
P (A I B I C) = P (A) P (B) P (C)
P (A I B) = P (A) P (B)
P (B I C) = P (B) P (C)
P (C I A) = P (C) P (A)
Plus généralement, nous dirons que n événements (A i)i Î {1, ... , n} sont indépendants dans leur ensemble si, et seulement si, pour toute partie I de l'ensemble {1, ... , n}, la relation suivante est vérifiée :
P   A i =  P (Ai) |
Dans le cas où I est vide, l'intersection d'une famille vide est vide, et il faut prendre 0 pour produit d'une famille vide.
3. Système complet d'événements, formule de Bayes.
3.1. La formule sous sa forme générale.
Dans un espace probabilisé (W, A, P), on appelle système complet d'événements toute partition finie de W par des éléments de A.
Soit (B i) i Î {1, ... , n} un système complet d'événements.
Alors, pour tout événement A de probabilité non nulle, et pour tout indice i Î {1, ... , n}, on a la formule de Bayes :
Soit (B i) i Î {1, ... , n} un système complet d'événements.
Alors, pour tout événement A de probabilité non nulle, et pour tout indice i Î {1, ... , n}, on a la formule de Bayes :
P (B i | A) =  |
Démonstration.
Comme (B i) i Î {1, ... , n} est une partition de W, on a W =B i et :
A = A I W = A I
Comme les B i sont deux à deux incompatibles, les A I B i, qui sont contenus dans les B i d'indices correspondants, sont eux aussi, deux à deux incompatibles.
La probabilité de leur réunion est donc la somme de leurs probabilités :
P (A) = P (A I B i) =
La formule P (A I B i) = P (A | B i) P (B i) = P (B i | A) P (A) s'écrit alors :
P (B i | A) [P (A | B 1) P (B 1) + ... + P (A | B n) P (B n)] = P (A | B i) P (B i)
et si la probabilité de A n'est pas nulle, c'est-à-dire si l'un au moins des P (A | B j) P (B j) n'est pas nul, la formule de Bayes s'en déduit.
3.2. Cas particulier de la formule de Bayes.
Pour tout événement non vide B, B et 
forment une partition de W.
Dans ce cas, la formule de Bayes se réduit à :
forment une partition de W.Dans ce cas, la formule de Bayes se réduit à :
P (B | A) =  |
3.3. Exemple et interprétation.
On prend un dé au hasard parmi un lot de 100 dés dont on sait que 25 d'entre eux sont pipés.
Pour un dé pipé, la probabilité d'obtenir un 6 est 0,5.
On lance le dé choisi, on obtient 6 : quelle est la probabilité pour que le dé choisi soit pipé ?
Pour un dé pipé, la probabilité d'obtenir un 6 est 0,5.
On lance le dé choisi, on obtient 6 : quelle est la probabilité pour que le dé choisi soit pipé ?
Appelons B l'événement "le dé est pipé", A l'événement "on obtient un 6".
B et forment un système complet d'événements.
La formule de Bayes donne :
B et
forment un système complet d'événements.La formule de Bayes donne :
= 
= 
.Remarque.
La formule de Bayes s'applique dans le cas d'une expérience aléatoire où le hasard intervient à deux reprises : une première fois dans le choix du dé, une deuxième fois dans le résultat du lancer.
Un résultat lié au premier niveau de hasard est appelé une "cause".
Un résultat lié au deuxième niveau de hasard est appelé une "conséquence".
Dans le cas présent, on a calculé la probabilité que le dé soit pipé (la cause), sachant que nous avons obtenu les 6 (la conséquence).
C'est pourquoi la formule de Bayes est aussi appelée la formule de probabilité des causes.
Les données du problème peuvent être présentées sous forme d'un tableau des probabilités, compte tenu de la formule P (A I B) = P (B) P (A | B) :
| Dé pipé = B | Dé non pipé = | Total | |
| 6 = A | P (A I B) = P (B) P (A | B) =  × | P (A I ) = P () × P (A | ) = P () ×  | P (A) |
non 6 =  | P ( I B) | P ( I ) | P () |
| Total | P (B) = | P () | P (W) = 1 |
Ces données suffisent pour remplir le tableau, par somme ou différence :
| B | | Total | |
| A |  |  × = | + = |
| – = | – =  | 1 – = |
| Total | | 1 – = | 1 |
| B | | Total | |
| A | | | |
| | | |
| Total | | | 1 |
Ce tableau de probabilités conjointes remplace la formule de Bayes et permet de répondre à toutes les questions qu'on se pose sur les probabilités conditionnelles : pour calculer P (B | A), on regarde dans la ligne de A, combien il y a de A I B .
| B | | Total | |
| A | | | |
| | | |
| Total | | | 1 |
= 
= 
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