Variable aléatoire réelle discrète.

1. Définition d'une variable aléatoire.

2. Exemple : variable de Bernoulli.

3. Loi de probabilité d'une variable aléatoire.

3.1. Définition.
3.2. Propriétés.
3.3. Exemple : loi de Bernoulli.

4. Fonction de répartition.

4.1. Définition.
4.2. Propriétés.
4.3. Exemple.

5. Espérance mathématique.

5.1. Définition et exemple.
5.2. Propriétés.
5.3. Espérance mathématique d'une fonction aléatoire.
5.4. Moments.
5.5. Moments centrés.

6. Variance.

6.1. Définition, formule de Koenig.
6.2. Propriété.
6.3. Exemple.

1. Définition d'une variable aléatoire.

Soit (W, A) un espace probabilisable associé à une épreuve aléatoire E.
Soit X une application de W dans R.
Nous dirons que X est une variable aléatoire réelle liée à E si, et seulement si, pour tout réel x, l'image réciproque X ^–1 (] –¥ , x] ) est un élément de A.

Si X (W) est une partie dénombrable de R, nous dirons que X est une variable aléatoire discrète.
Une variable aléatoire discrète sera dite finie ou infinie suivant que l'ensemble de ses valeurs est fini ou infini.

Réciproquement, considérons l'ensemble fondamental W associé à une épreuve aléatoire E.
Soit R l'ensemble des nombres réels.
Considérons une application X : W ® R.
On note X (W) l'ensemble des valeurs de X, qu'on suppose dénombrable.
A toute partie B de R, on peut associer la partie X ^–1 (B) de W, qui est l'ensemble, éventuellement vide, des w Î W pour lesquels X (w) est un élément de B.
L'ensemble des parties X ^–1 (B) de W, pour les partie B de R, forme une algèbre d'événements A.

En effet :

1°/ X ^–1 (R) = W, donc W ΠA.
2°/ Soit A Î A. Il existe une partie B de R telle que A = X ^–1 (B).
w Π Û w Ï A Û X (w) Ï B Û X (w) Î  Û w ΠX ^–1 ().
La relation  = X ^–1 () entraîne  Î A.
3°/ Soient A et A' des éléments de A. Il existe des parties B et B' de R telles que l'on ait A = X ^–1 (B) et A' = X ^–1 (B').
w ΠX ^–1 (B U B') Û X (w) Î B U B' Û X (w) Î B ou X (w) Î B' Û w ΠX ^–1 (B) ou w ΠX ^–1 (B') Û w ΠX ^–1 (B U B')
La relation X ^–1 (B U B') = X ^–1 (B) U X ^–1 (B) entraîne A U A' Î A.

Comme l'application B  X ^–1 (B) est croissante, les événements élémentaires de cette algèbre d'événements sont les images réciproques des valeurs x _k de X.
Toute application X définie sur W et à valeurs dans R permet donc de définir un espace probabilisable (W, A), sur lequel X est une variable aléatoire réelle.

2. Exemple : variable de Bernoulli.

Soit W l'ensemble fondamental associé à une épreuve aléatoire E.
Soit A un événement, partie de W.

On appelle variable indicatrice de Bernoulli de A, ou fonction indicatrice de A, la variable aléatoire 1 _A définie, pour tout élément w de W, par :

1 _A (w) = 

Cette variable aléatoire n'a que deux valeurs : 0 et 1.
Les événements élémentaires de l'algèbre d'événements qu'elle définit sont :
     1 _A ^–1 (1) = A     1 _A ^–1 (0) = 

L'algèbre d'événements définie par la variable indicatrice de Bernoulli de A est donc l'algèbre de Bernoulli A formée des éléments {Ø, A, , W} de P (W) et l'espace probabilisable associé est (W, A).

3. Loi de probabilité d'une variable aléatoire.

3.1. Définition.

Soit (W, A, P) un espace probabilisé, et X une variable aléatoire discrète.
Soit (x _k) _k Î I l'ensemble des valeurs de X.
Soit A _k l'événement élémentaire de A défini par la valeur x _k :
A _k = {w Î W | X (w) = x _k} = X ^–1 ({x _k}) Î A.

On note P _X l'application R ® [0, 1] définie par :

P _X (x) = P (X ^–1 ({x}))

Comme les valeurs de X sont les (x _k) _k Î I, X ^–1 ({x}) est vide lorsque x n'est pas l'un des (x _k) _k Î I et sa probabilité est nulle.
Lorsque x = x _k, pour un k Î I, on obtient :

P _X (x _k) = P (X ^–1 ({x _k})) = P (A _k) = P (w) = P (w)

Le nombre p _k = P _X (x _k) = P (w) est souvent noté, par abus d'écriture, P (X = x _k), ou P (x _k).
On dit que p _k est la probabilité de la valeur x _k de X.

L'ensemble des couples (x _k, p _k) _k Î I est appelé la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

3.2. Propriétés d'une loi de probabilité.

a) Pour tout k Î I, p _k Î [0, 1].

En effet, p _k = P (X = x _k) = P (A _k), et les valeurs de P sont des nombres réels compris entre 0 et 1.

b) p _k = 1 (condition de normalisation).

En effet, les A _k, k Î I, sont les événements élémentaires de l'algèbre d'événements A, donc ils sont incompatibles deux à deux et leur réunion est :

A _k = X ^–1 ({x _k}) = X ^–1 {x _k} = X ^–1 (X (W)) = W

de sorte que l'on a :

p _k = P (A _k) = P A _k = P (W) = 1. 

3.3. Exemple de loi de probabilité : loi de Bernoulli.

Considérons la variable indicatrice de Bernoulli 1 _A d'un événement A.
Notons p la probabilité de réalisation de l'événement A, et q = 1 – p.
Nous avons, par définition :

1 _A (w) = 

donc :

 p = P (A) = P (1 _A ^–1 (1)) = P (1 _A = 1) = P_1 A (1) = P (1).
 q = 1 – P (A) = P() = P (1 _A ^–1 (0)) = P (1 _A = 0) = P _1 A (0) = P (0).

La loi de probabilité de la variable indicatrice 1 _A est donc donnée par le tableau :

x k	0	1
p k	q	p

avec p + q = 1.

4. Fonction de répartition.

4.1. Définition.

On appelle fonction de répartition d'une variable aléatoire X l'application F : R ® R définie par :

F (x) = P (X £ x) =  P (X = x _k) = p _k.

4.2. Propriétés d'une fonction de répartition.

Comme les p _k sont des nombres positifs, la fonction de répartition est une application croissante, dont toutes les valeurs sont positives.
Comme la somme p _k des p _k est égale à 1, F (x) croît de 0 à 1 lorsque x varie de –¥ à +¥.
Lorsque x atteint une valeur x _k par valeurs inférieures, F (x) augmente brusquement de p _k et reste constante sur l'intervalle [x _k, x _{k + 1}[.
C'est une fonction en escalier, continue à droite :

4.3. Exemple de fonction de répartition.

La variable indicatrice de Bernoulli d'un événement A a pour fonction de répartition :

F (x) = 

5. Espérance mathématique.

5.1. Définition et exemple.

On appelle espérance mathématique (ou moyenne) d'une variable aléatoire X le nombre, quand il existe :

E (X) = p k x k

Exemple : espérance mathématique de la variable indicatrice de Bernoulli d'un événement A.

E (1 _A) = q × 0 + p × 1 = p = P (A).

5.2. Propriétés de l'espérance mathématique.

a) Espérance mathématique d'une constante.

Si la variable aléatoire X n'a qu'une seule valeur X = a, on a P (X = a) = 1 et E (X) = a P (X = a) = a.

E (a) = a

b) Linéarité.

Soient X une variable aléatoire réelle discrète, a et b des constantes.
La variable aléatoire Z = a X + b prend les valeurs z _k = a x _k + b avec les probabilités :

P (Z = z _k) = P (X = x _k)

E (Z) = P (X = x _k) (a x _k + b)
E (Z) = E (Z) = a P (X = x _k) x _k + b P (X = x _k) = a E (X) + b
D'où le résultat :

E (a X + b) = a E (X) + b

Plus généralement, nous admettrons que, pour deux variables aléatoires X et Y, et deux constantes a et b, nous avons :

E (a X + b Y) = a E (X) + b E (Y)

5.3. Espérance mathématique d'une fonction aléatoire.

Si j est une application de R dans R, j o X est une variable aléatoire qu'on note j (X).

L'espérance mathématique, ou moyenne, de j (X) est (résultat admis) :

E (j (X)) = p k j (x k)

5.4. Moments.

Pour tout entier n, l'espérance mathématique E (X ⁿ) s'appelle le moment d'ordre n de X, on le note m _n.

m n = E (X n) = p k x k n

m ₀ = p _k = 1
m ₁ = p _k x _k = E (X)
m ₂ = p _k x _k ² = E (X ²)

5.5. Moments centrés.

Pour tout entier n, l'espérance mathématique E ((X – E (X)) ⁿ) s'appelle le moment centré d'ordre n de X, on le note µ _n.

µ n = E ((X – E (X)) n) = p k (x k – E (X)) n

µ ₀ = p _k = 1
µ ₁ = p _k (x _k – E (X)) = E (X) – E (X) = 0
µ ₂ = p _k (x _k – E (X)) ²

6. Variance.

6.1. Définition, formule de Koenig.

Le moment centré d'ordre 2, µ ₂, s'appelle la variance. On note Var (X) la variance de X.

Var (X) = p k (x k – E (X)) ²

En développant le carré, on obtient :

 Var (X) = p _k (x _k ² + (E (X)) ² – 2 x _k E (X))
     = p _k x _k ² + p _k (E (X)) ² – 2 p _k x _k E (X)
     = p _k x _k ² – (E (X)) ²

Var (X) = E (X ²) – (E (X)) ² = m 2 – m 1 ²

La formule Var (X) = E (X ²) – (E (X)) ² est connue sous le nom de formule de la variance, ou formule de Koenig.
Elle indique que la variance est la moyenne du carré, moins le carré de la moyenne.

La racine carrée de la variance s'appelle l'écart-type. On s (X) ou s _X l'écart-type de X.

s X =

6.2. Propriété de la variance.

Var (a X + b) = a ² Var (X)

En effet :

Var (a X + b) = E ((a X + b – E (a X + b)) ²)
     = E ((a X + b – a E (X) – b)) ²)
     = E (a ² (X – E (X)) ²)
    = a ² E ((X – E (X)) ²)
     = a ² Var (X)

6.3. Exemple de variance.

Le moment d'ordre 2 de la variable indicatrice de Bernoulli d'un événement A de probabilité p est :

m ₂ = E (X ²) = q × 0 ² + p × 1 ² = p

La variance est :

Var (X) = m ₂ – m ₁ ² = p – p ² = p (1 – p) = p q.