Variables aléatoires réelles à densité.

1. Définition d'une loi à densité, variable aléatoire continue.

1.1. Fonction de répartition.

On appelle fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle X, l'application
     x  F (x) = P (X < x).
Pour qu'une application F : R ¾® [0, 1] soit une fonction de répartition, il faut et il suffit que :
     — F (– ¥) = 0
     — F (+ ¥) = 1
     — F soit croissante
     — F soit continue à gauche.

1.2. Variable aléatoire absolument continue.

On dit qu'une variable aléatoire réelle X est absolument continue si, et seulement si, sa fonction de répartition F est dérivable. 

 1.3. Densité de probabilité.

On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle X absolument continue, la dérivée f de sa fonction de répartition.

 1.4. Variable aléatoire continue.

On dit qu'une variable aléatoire réelle X est continue si, et seulement si, sa densité de probabilité f est une application continue :

F (x) = f (t) dt. 

2. Espérance et variance d'une variable alétoire continue.

L'espérance mathématique d'une fonction aléatoire h (X) est, par définition :
     E (h (X)) = h (x) f (x) dx

E (X) = x f (x) dx

E (X ²) = x ² f (x) dx
Var (X) = E ((X – E (X)) ²) = E (X ²) – (E (X)) ²

Var (X) = x ² f (x) dx – x f (x) dx

3. Indépendance.

Deux variables aléatoires réelles à densité X et Y sont dites indépendantes si la densité conjointe f _(X, Y) (x, y) est le produit des densités de probabilité marginales de X et de Y :

f _(X, Y) (x, y) = f _X (x) f _Y (y)

n variables aléatoires réelles à densité X _j, 1 £ j £ n, sont dites indépendantes dans leur ensemble si, pour toute partie J de [1, n] Í N*, la densité conjointe f _{(X j) j Î J} ((x _j) _j Î J) est le produit des densités de probabilité marginales des X _j, 1 £ j £ n :

f _{(X j) j Î J} ((x _j) _j Î J) = f _X j (x _j)