Loi multinomiale.

1. Définition.

Etant donnée une épreuve aléatoire d'ensemble fondamental W,
étant donné un ensemble complet d'événements (A _j) _{1 £ j £ n} (partition de l'ensemble fondamental W), de probabilités respectives p _j = P [ A _j ], avec p _j = 1,
étant donné un nombre m de répétitions indépendantes de l'épreuve aléatoire,
on note Y _j le nombre de fois que se réalise l'événement A _j en m répétitions indépendantes de l'épreuve aléatoire, 1 £ j £ n.
Soient k _j des nombres entiers naturels tels que k ₁ + k ₂ + ... + k _n = m.
La variable (Y ₁, Y ₂, ... , Y _n) suit ce qu'on appelle une loi multinomiale :

P (Y ₁ = k ₁ et Y ₂ = k ₂ et ... et Y _n = k _n) =  p ₁ ^k 1 p ₂ ^k 2 ... p _n ^k n
La loi multinomiale est donc la loi conjointe des n variables aléatoires (Y ₁, Y ₂, ... , Y _n) liées par la relation

Y ₁ + Y ₂ + ... + Y _n = m

2. Cas particulier, n = 2 : loi binomiale.

Etant donnée une épreuve aléatoire d'ensemble fondamental W,
étant donné un ensemble complet d'événements (A _j) _{1 £ j £ 2} (partition de l'ensemble fondamental W), de probabilités respectives p _j = P [ A _j ], avec p ₁ + p ₂ = 1,
étant donné un nombre m de répétitions indépendantes de l'épreuve aléatoire,
on note Y _j le nombre de fois que se réalise l'événement A _j en m répétitions indépendantes de l'épreuve aléatoire, 1 £ j £ 2.
Soient k _j, 1 £ j £ 2, des nombres entiers naturels tels que k ₁ + k ₂ = m.
La variable (Y ₁, Y ₂) suit une loi binomiale :

P (Y ₁ = k ₁ et Y ₂ = k ₂) =  p ₁ ^k 1 p ₂ ^k 2
La loi binomiale est donc la loi conjointe des 2 variables aléatoires (Y ₁, Y ₂) liées par la relation

Y ₁ + Y ₂ = m
L'épreuve aléatoire est une épreuve de Bernoulli, avec deux résultats possibles : le succès A ₁ et l'échec A ₂.
Y ₁ est le nombre de succès obtenus lorsqu'on répète m fois de façon indépendante l'épreuve de Bernoulli, Y ₂ est le nombre d'échecs.
On a toujours Y ₂ = m – Y ₁, de sorte que la valeur de Y ₂ est déterminée par celle de Y ₁.
Il suffit donc d'écrire :

P (Y ₁ = k ₁) =  p ₁ ^k 1 (1 – p ₁) ^{(m – k 1)}
pour retrouver la forme classique de la loi binomiale.

3. Lois marginales.

Etant donnée une épreuve aléatoire d'ensemble fondamental W,
étant donné un ensemble complet d'événements (A _j) _{1 £ j £ n} (partition de l'ensemble fondamental W), de probabilités respectives p _j = P [ A _j ], avec p _j = 1,
étant donné un nombre m de répétitions indépendantes de l'épreuve aléatoire,
on note Y _j le nombre de fois que se réalise l'événement A _j en m répétitions indépendantes de l'épreuve aléatoire, 1 £ j £ n.
Soient k _j des nombres entiers naturels tels que k ₁ + k ₂ + ... + k _n = m.
La variable (Y ₁, Y ₂, ... , Y _n) suit une loi multinomiale :

P (Y ₁ = k ₁ et Y ₂ = k ₂ et ... et Y _n = k _n) =  p ₁ ^k 1 p ₂ ^k 2 ... p _n ^k n
La loi marginale de la variable aléatoire Y _j est une loi binomiale de paramètres m et p _j.
En effet, si l'on appelle A _j le succès dans l'épreuve aléatoire, et A ₁ U ... U A _{j – 1} U A _{j + 1} U ... U A _n =  _W A _j l'échec, la loi de probabilité de Y _j est donnée par :

P [ Y _j = k _j ] =  p _j ^k j (1 – p _j) ^{(m – k j)}

4. Distribution de deux caractères.

Etant donnés deux caractères A et B dans une population, présentant des modalités A ₁, ... , A _n, B ₁, ... , B _m, caractérisées par des probabilités conjointes :

p _ij = P [ A _i I B _j ]
la répartition conjointe de probabilité des deux caractères dans la population peut être schématisée dans un tableau à double entrée :

A     B	B 1	...	B j	...	B m	Total
A 1	p 11	...	p 1j	...	p 1m	p 1.
...	...	...	...	...	...	...
A i	p i1	...	p ij	...	p im	p i.
...	...	...	...	...	...	...
A n	p n1	...	p nj	...	p nm	p n.
Total	p .1	...	p .j	...	p .m	1

Considérons l'épreuve aléatoire qui consiste à tirer un individu au hasard dans la population.
On répète N fois cette épreuve de manière indépendante (tirage avec remise).
On note Y _ij le nombre d'individus tirés présentant à la fois les modalités A _i et B _j :

A     B	B 1	...	B j	...	B m	Total
A 1	Y 11	...	Y 1j	...	Y 1m	Y 1.
...	...	...	...	...	...	...
A i	Y i1	...	Y ij	...	Y im	Y i.
...	...	...	...	...	...	...
A n	Y n1	...	Y nj	...	Y nm	Y n.
Total	Y .1	...	Y .j	...	Y .m	N

La loi de probabilité de la variable aléatoire multiple représentée dans le tableau précédent est une loi multinomiale.
La probabilité d'une réalisation :

A     B	B 1	...	B j	...	B m	Total
A 1	k 11	...	k 1j	...	k 1m	k 1.
...	...	...	...	...	...	...
A i	k i1	...	k ij	...	k im	k i.
...	...	...	...	...	...	...
A n	k n1	...	k nj	...	k nm	k n.
Total	k .1	...	k .j	...	k .m	N

est donnée par la formule :

P [ Y _{i j} = k _{i j}, 1 £ i £ n, 1 £ j £ m ] =  × p _{i j} ^{k i j}

5. Fonction génératrice.

Etant donnée une variable aléatoire (Y ₁, Y ₂, ... , Y _n) de loi multinomiale :
P (Y ₁ = k ₁ et Y ₂ = k ₂ et ... et Y _n = k _n) =  p ₁ ^k 1 p ₂ ^k 2 ... p _n ^k n
la fonction génératrice de (Y ₁, Y ₂, ... , Y _n) est
g _(Y 1, Y 2, ... , Y n) (u ₁, u ₂, ... , u _n) = (p ₁ u ₁ + p ₂ u ₂ + ... + p _n u _n) ^m
Cette relation traduit l'indépendance des m épreuves successives.