تمرين متتالية من بكالوريا فرنسية

الموضوع الأصلي :

Soit   la fonction définie sur l’intervalle   par :

 

Le but de cet exercice est d’étudier des suites   définies par un premier terme positif ou nul    et vérifiant pour
tout entier naturel n : 

 

1.   Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle   [0 ; +∞[.
2. Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation f(x) = x. On note α la solution.
3. Montrer que si x appartient à l’intervalle [0 ; α], alors f(x) appartient à l’intervalle [0 ; α].
   De même, montrer que si x appartient à l’intervalle [α ; +∞[, alors f(x) appartient à l’intervalle [α ; +∞[.

Dans cette question, on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n :

• Sur le graphique représenté dans l’annexe 2, sont représentées les courbes d’équations y = x et y = f(x).
  Placer le point A0 de coordonnées (u0 ; 0) et, en utilisant ces courbes, construire à partir du point A0
  les points A1, A2, A3 et A4 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u1, u2, u3 et u4.
  Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite (un) ?
• Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n 
• En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

mostafidoun