Baccalauréat S Pondichéry avril 1998

Baccalauréat S Pondichéry avril 1998

EXERCICE 1                                                                                                                   

1.    On dispose d'une urne $U_1$ contenant trois boules rouges et sept boules noires.      

     On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous                                 les tirages sont équiprobables.

a.       Quelle est la probabilité $P_1$ que les deux boules tirées soient rouges ?

b.       Quelle est la probabilité $P_2$ que les deux boules tirées soient noires ?

c.     Quelle est la probabilité $P_3$ que les deux boules tirées soient de même couleur ?

d.    Quelle est la probabilité $P_4$ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

2.    On dispose aussi d'une deuxième urne $U_2$ contenant quatre boules rouges et six boules          noires.

 On tire maintenant deux boules de l'urne $U_1$  et une boule de l'urne $U_2$  ; on suppose        que tous les tirages sont équipobables.

  On considère les évènements suivants :

•  $R$ : « Les trois boules tirées sont rouges »
•  $D$ : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »
•  $B$ : la boule tirée dans l'urne$U_2$ est rouge ».

           a.       Calculer la probabilité de l'évènement $R$ .

           b.       Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

           c.     Calculer la probabilité conditionnelle $P_D(B)$ de l'évènement $B$ sachant que                         l'évènement $D$ est réalisé.

Exercice 2                                                                                                                   

Enseignement obligatoire

On considère le polynôme $P(z)=z^4+17z^2-28z+260$, où z est un nombre complexe.

1.       Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :

$P(z)=(z^2+az+b)(z^2+4z+20)$.

2.       Résoudre dans $\mathbb{C}$  l'équation $P(z)=0$.

3.    Placer dans un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$        les images $M,N,P$ et $Q$ des nombres complexes respectifs  :                                                                                                   $m=-2+4i,n=-2-4i,p=2+3i$ et $q=2-3i$

4.       a. Déterminer le nombre complexe $z$ vérifiant $\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image  $K$.

b. En déduire que le triangle $MPK$ est isocèle rectangle en $K$.

4. a. Déterminer par le calcul l'affixe du point $L$ , quatrième sommet du carré $MKPL$ .

b.    Déterminerl'abscisse du point d'intersection $R$ de la droite $\left(KL\right)$ et de l'axe        des abscisses.

c.        Montrer que $M,N,P$ et $Q$ sont sur un même cercle de centre $R$ .

Problème

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f(x)=\frac{e^x-1}{xe^x+1}$

On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ortho­normal $(o;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ unité graphique : $4 cm$.

Partie A

* étude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$ par : $g(x)=x+2-e^x$

1.    Étudier le sens de variation de $g$ sur $\left[0;+\infty\right[$ et déterminer la limite de $g$  en $+\infty$ .

2.       a. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule dans

  $\left[0;+\infty\right[$.

On note $\alpha$ cette solution.

a.       Prouver que $1.14<\alpha<1.15$.

2.       En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

Partie B

* Étude de lafonction $f$ et tracé de la courbe $(C_f)$

1.      a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\left[0;+\infty\right[$ :

$f'(x)=\frac{e^xg(x)}{(xe^x+1)^2}$

b.       En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ :

2.       a. Montrer que pour tout réel positif $x$ : $f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}$

   b.    En déduire la limite de$f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat trouvé.

   c.   Montrer que $f(\alpha)=\frac{1}{1+\alpha}$  

   d. En utilisant l'encadrement de $\alpha$ établi dans la question A.2., donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$.

4. Déterminer une équation dela tangente $(T)$ à lacourbe $(C_f)$ aupointd'abscisse $0$.

5.      a. Établir que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$,

   b.    Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$. En         déduire le signe de $u(x)$.

c.     Déduire des questions précédentes la position de la courbe $(C_f)$ par rapport à la droite $(T)$.

6.      Tracer $(C_f)$ et $(T)$.

Partie C

★ Calcul d'aire et étude d'une suite

1.    Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ établie dans la question B. 2.

2.    On note $D$ le domaine délimité par la courbe $(C_f)$ , la tangente $(T)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Calculer, en $cm^2$, l'aire $A$ dudomaine $D$.

Donner une valeur décimale au $mm^2$ prés de l'aire $A$ .

3.      Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\int_{a}^{b}f(x)dx$

a.       Calculer $v_0,v_1$ et $v_2$.

  On donnera des valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ prés de $v_0,v_1$ et $v_2$.

b.       Interpréter graphiquement $v_n$ .

c.        Montrer que, pour tout $n \geq 2$ : $f(n+1)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq f(n)$

       En déduire la monotonie de la suite $(v_n)$ à partir de $n=1$.

d.      
Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ .

Suites :  

Limites et comparaison.

Limite finie ou infinie d'une suite.

Limites et comparaison.

Opérations sur les limites.

Comportement à l'infini de la suite (qⁿ ), q étant un nombre réel.

Suite majorée, minorée, bornée.

Limites de fonctions

Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini.

Limite infinie d'une fonction en un point.

Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une composée de deux fonctions.

Limites et comparaison.

Asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées.

Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires

Calculs de dérivées : compléments

Fonctions sinus et cosinus

Fonction exponentielle :

Fonction $x\longrightarrow exp(x)$

Relation fonctionnelle, notation $e^x$

Fonction logarithme népérien

Fonction $x\rightarrow ln(x)$ .

Relation fonctionnelle, dérivée.

Intégration

Définition de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur $\left [ a;b \right ]$comme aire sous la courbe.

Notation $\int_{a}^{b}f(x)dx$

Primitive d'une fonction continue sur un intervalle

Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Linéarité, positivité, relation de Chasles.

Valeur moyenne.

Nombres complexes

Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient.

Équation du second degré à coefficients réels.

Représentation géométrique.

Affixe d'un point, d'un vecteur.

Forme trigonométrique :

-    module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct

-    notation exponentielle.

Géométrie dans l'espace

Droites et plans

Positions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme

Orthogonalité :

-    de deux droites ;

-    d'une droite et d'un plan

Géométrie vectorielle

Caractérisation d'un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires

Vecteurs coplanaires.

Décomposition d'un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires.

Repérage.

Représentation paramétrique d'une droite.

Produit scalaire

Produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace : définition, propriétés.

Vecteur normal à un plan.

Équation cartésienne d'un plan.

Probabilités et statistique

Conditionnement, indépendance

Conditionnement par un événement de probabilité non nulle.

Notation  $P_A(B)$ .

Indépendance de deux événements

Notion de loi à densité à partir d'exemples

Loi à densité sur un intervalle

Loi uniforme sur $\left [ a;b \right ]$ .

Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme.

Lois exponentielles.

Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.

Loi normale centrée réduite $N(0,1)$.

Théorème de Moivre Laplace (admis).

Loi normale $N(i,c^2)$ d'espérance $y$ et d'écart-type  $c$ .

Intervalle de fluctuation

Estimation

Intervalle de confiance .

Niveau de confiance

Arithmétique

•   Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ .

•   Division euclidienne.

•   Congruences dans $\mathbb{Z}$ .

•   $PGCD$ de deux entiers.

•   Entiers premiers entre eux.

•   Théorème de Bézout.

•   Théorème de Gauss.

•   Nombres premiers.

•   Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers

Matrices et suites

•   Matrices carrées, matrices colonnes : opérations.

•   Matrice inverse d'une matrice carrée.

•    Exemples de calcul de la puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.

•    Écriture matricielle d'un système linéaire

•    Suite de matrices colonnes $(U_n)$  vérifiant une relation de récurrence du type                                                                                 $U_{n+1}=AU_n+C$ :

-    recherche d'une suite constante vérifiant la relation de récurrence ;

-   étude de la convergence.

-   Étude asymptotique d'une marche aléatoire.