Baccalauréat S Pondichéry avril 1998
EXERCICE 1
1.
On dispose d'une urne $U_1$ contenant trois boules rouges et sept boules noires.
On extrait
simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous les tirages
sont équiprobables.
a.
Quelle est la probabilité $P_1$ que les deux boules tirées soient rouges ?
b.
Quelle est la probabilité $P_2$ que les deux boules tirées soient noires ?
c.
Quelle est la probabilité $P_3$ que les deux boules tirées soient de même couleur ?
d.
Quelle est la probabilité $P_4$ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?
2.
On dispose aussi d'une deuxième urne $U_2$
contenant quatre boules rouges et six boules noires.
On tire maintenant deux
boules de l'urne $U_1$ et une boule
de l'urne $U_2$ ; on suppose que tous les tirages sont équipobables.
On considère les
évènements suivants :
- $R$ : « Les trois boules tirées sont rouges »
- $D$ : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »
- $B$ : la boule tirée dans l'urne$U_2$ est rouge ».
a.
Calculer la probabilité de l'évènement $R$ .
b.
Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?
c.
Calculer la probabilité conditionnelle $P_D(B)$ de
l'évènement $B$ sachant que l'évènement $D$ est
réalisé.
On considère le polynôme $P(z)=z^4+17z^2-28z+260$, où z est un nombre complexe.
1.
Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que :
$P(z)=(z^2+az+b)(z^2+4z+20)$.
2.
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.
3.
Placer dans un repère orthonormal direct $\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ les images $M,N,P$ et $Q$ des nombres complexes respectifs : $m=-2+4i,n=-2-4i,p=2+3i$ et $q=2-3i$
4.
a. Déterminer le
nombre complexe $z$ vérifiant $\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image $K$.
b. En déduire que le
triangle $MPK$ est isocèle rectangle en $K$.
4. a. Déterminer par le calcul l'affixe du point $L$ , quatrième
sommet du carré $MKPL$ .
b.
Déterminerl'abscisse du point d'intersection $R$ de la droite $\left(KL\right)$ et de
l'axe des abscisses.
c.
Montrer que $M,N,P$ et $Q$ sont sur un même cercle de centre $R$ .
On
considère la fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty\right[$ par : $f(x)=\frac{e^x-1}{xe^x+1}$
On désigne par $(C_f)$ sa courbe
représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(o;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ unité graphique : $4 cm$.
Partie A
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$ par : $g(x)=x+2-e^x$
1.
Étudier le sens de variation de $g$ sur $\left[0;+\infty\right[$ et déterminer la limite de $g$ en $+\infty$ .
2.
a. Montrer que
l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une
seule dans
$\left[0;+\infty\right[$.
On note $\alpha$ cette solution.
a.
Prouver que $1.14<\alpha<1.15$.
2.
En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Partie B
* Étude de lafonction $f$ et tracé de la courbe $(C_f)$
1.
a. Montrer que, pour
tout $x$ appartenant à $\left[0;+\infty\right[$ :
$f'(x)=\frac{e^xg(x)}{(xe^x+1)^2}$
b.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ :
2. a. Montrer que pour
tout réel positif $x$ : $f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}$
b.
En déduire la limite de$f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le
résultat trouvé.
c. Montrer que $f(\alpha)=\frac{1}{1+\alpha}$
d. En utilisant
l'encadrement de $\alpha$ établi dans la question A.2., donner un
encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$.
4. Déterminer une
équation dela tangente $(T)$ à lacourbe $(C_f)$ aupointd'abscisse $0$.
5.
a. Établir que, pour
tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$,
b.
Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$. En déduire le signe de $u(x)$.
c.
Déduire des questions précédentes la position de la courbe $(C_f)$ par rapport
à la droite $(T)$.
6.
Tracer $(C_f)$ et $(T)$.
Partie C
1.
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\left[0;+\infty\right[$ ; on pourra utiliser
l'expression de $f(x)$ établie dans la question B. 2.
2.
On note $D$ le domaine délimité par la courbe $(C_f)$ , la tangente $(T)$ et les
droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
Calculer, en $cm^2$, l'aire $A$ dudomaine $D$.
Donner une valeur décimale au $mm^2$ prés de l'aire $A$ .
3. Pour tout entier naturel $n $, on pose $v_n=\int_{a}^{b}f(x)dx$
a.
Calculer $v_0,v_1$ et $v_2$.
On donnera des valeurs décimales
approchées à $10^{-2}$ prés de $v_0,v_1$ et $v_2$.
b.
Interpréter graphiquement $v_n$ .
c.
Montrer que, pour tout $n \geq 2$ : $f(n+1)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq f(n)$
En déduire la monotonie de la suite $(v_n)$ à partir de $n=1$.
d.
Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ .
Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ .
Suites :
Limites et comparaison.
Limite finie ou infinie d'une suite.
Limites et comparaison.
Opérations sur les limites.
Comportement à l'infini de la suite (qn
), q étant un nombre réel.
Suite majorée, minorée, bornée.
Limites de fonctions
Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini.
Limite infinie d'une fonction en un point.
Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou d'une composée
de deux fonctions.
Limites et comparaison.
Asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées.
Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs
intermédiaires
Calculs de dérivées : compléments
Fonctions sinus et cosinus
Fonction exponentielle :
Fonction $x\longrightarrow exp(x)$
Relation fonctionnelle, notation $e^x$
Fonction
logarithme népérien
Fonction $x\rightarrow
ln(x)$ .
Relation fonctionnelle, dérivée.
Intégration
Définition de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur $\left [ a;b \right ]$comme aire sous la courbe.
Notation $\int_{a}^{b}f(x)dx$
Primitive d'une fonction continue sur un intervalle
Théorème : toute fonction continue sur un
intervalle admet des primitives.
Intégrale d'une fonction continue de signe
quelconque
Linéarité, positivité, relation de Chasles.
Valeur moyenne.
Nombres complexes
Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient.
Équation du second degré à coefficients réels.
Représentation géométrique.
Affixe d'un point, d'un vecteur.
Forme trigonométrique :
-
module et argument,
interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct
-
notation exponentielle.
Droites et plans
Positions relatives de droites et de plans : intersection et
parallélisme
Orthogonalité :
-
de deux droites ;
-
d'une droite et d'un plan
Géométrie vectorielle
Caractérisation d'un plan par un point et deux vecteurs non
colinéaires
Vecteurs coplanaires.
Décomposition d'un vecteur en fonction de trois vecteurs non
coplanaires.
Repérage.
Représentation paramétrique d'une droite.
Produit scalaire
Produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace : définition,
propriétés.
Vecteur normal à un plan.
Équation cartésienne d'un plan.
Conditionnement, indépendance
Conditionnement par un événement de probabilité non nulle.
Notation $P_A(B)$ .
Indépendance de deux événements
Notion de loi à densité à partir d'exemples
Loi à densité sur un intervalle
Loi uniforme sur $\left [ a;b \right ]$
.
Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme.
Lois exponentielles.
Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
Loi normale centrée réduite $N(0,1)$.
Théorème de Moivre Laplace (admis).
Loi normale $N(i,c^2)$
d'espérance $y$ et d'écart-type $c$ .
Intervalle de fluctuation
Estimation
Intervalle de confiance .
Niveau de confiance
Arithmétique
•
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ .
•
Division euclidienne.
•
Congruences dans $\mathbb{Z}$ .
•
$PGCD$
de deux entiers.
•
Entiers premiers entre eux.
•
Théorème de Bézout.
•
Théorème de Gauss.
•
Nombres premiers.
•
Existence et unicité de la
décomposition en produit de facteurs premiers
•
Matrices carrées, matrices
colonnes : opérations.
•
Matrice inverse d'une
matrice carrée.
•
Exemples de calcul de la
puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.
•
Écriture matricielle d'un
système linéaire
•
Suite de matrices colonnes $(U_n)$ vérifiant
une relation de récurrence du type
$U_{n+1}=AU_n+C$ :
-
recherche d'une suite
constante vérifiant la relation de récurrence ;
-
étude de la convergence.
-
Étude asymptotique d'une
marche aléatoire.
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