Loi de Poisson.
Loi de Poisson.
1. Définition.
2. Propriétés.
1°/ Approximation de la loi binomiale.
2°/ Espérance mathématique.
3°/ Variance.
1. Définition.
Une variable aléatoire prenant des valeurs entières k avec les probabilités P (X = k) = e – l
, s'appelle une variable de Poisson de paramètre l.
Sa loi de probabilité s'appelle loi de Poisson de paramètre l. X
P l.
La loi de Poisson est aussi appelée la loi des phénomènes rares.
On l'obtient toujours comme approximation d'une loi binomiale lorsque n devient très grand et lorsque p devient très petit avec une espérance n p qui tend vers une constante strictement positive l.
, s'appelle une variable de Poisson de paramètre l.Sa loi de probabilité s'appelle loi de Poisson de paramètre l. X
P l.La loi de Poisson est aussi appelée la loi des phénomènes rares.
On l'obtient toujours comme approximation d'une loi binomiale lorsque n devient très grand et lorsque p devient très petit avec une espérance n p qui tend vers une constante strictement positive l.
Soit Xn une variable binomiale de paramètres n et p n.
Supposons que, lorsque n augmente indéfiniment, le paramètre p n soit tel que la limite de n p n soit un nombre réel positif l.
Alors, pour tout k fixé, dans l'expression de la probabilité de la loi binomiale :
Supposons que, lorsque n augmente indéfiniment, le paramètre p n soit tel que la limite de n p n soit un nombre réel positif l.
Alors, pour tout k fixé, dans l'expression de la probabilité de la loi binomiale :
p n k (1 – p n) n – k
n (n – 1) ... (n – k) est équivalent à n k, puisqu'il est compris entre n k 
» n k 
, et n k.
n (n – 1) ... (n – k) p n k est donc équivalent à (n p n) k, qui tend vers l k.
(1 – p n) n – k a pour logarithme (n – k) ln (1 – p n) » – (n – k) p n = – n
p n, qui tend vers – l.
Donc (1 – p n) n – k tend vers e – l.
Finalement, P (X n = k) tend vers e – l.
» n k , et n k.n (n – 1) ... (n – k) p n k est donc équivalent à (n p n) k, qui tend vers l k.
(1 – p n) n – k a pour logarithme (n – k) ln (1 – p n) » – (n – k) p n = – n
p n, qui tend vers – l.Donc (1 – p n) n – k tend vers e – l.
Finalement, P (X n = k) tend vers e – l
.2. Propriétés.
1°/ Approximation de la loi binomiale.
En pratique, on considère qu'on peut approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi de Poisson de paramètre l = n p, lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
1. n est grand (n ³ 100).
2. p est petit (p £ 0,01) : n p = n p q.
3. n p est de l'ordre de grandeur de l'unité, ni trop petit, ni trop grand (1 £ n p £ 10).
2°/ Espérance mathématique.
| X P l Þ E (X)= l. |
Soit X P l.
E (X) = 
n P (X = n) = n e – l 
= l e – l 
= l e – l 
= e l Þ E (X) = l.
n P (X = n) = n e – l = l e – l = l e – l = e l Þ E (X) = l.3°/ Variance.
| X P l Þ Var (X) = l. |
En effet, soit X P l.
Var (X) = E (X ²) – (E (X)) ² = E (X ²) – l ².
E (X ²) = E (X (X – 1)) + E (X) =n (n – 1) e – l + l.
n (n – 1) e – l = 
n (n – 1) e – l = l ² e – l 
= l ² e – l
= e l Þ n (n – 1) e – l = l ².
E (X ²) = l ² + l.
Var (X) = l ² + l – l ² = l.
P l.Var (X) = E (X ²) – (E (X)) ² = E (X ²) – l ².
E (X ²) = E (X (X – 1)) + E (X) =
n (n – 1) e – l + l.n (n – 1) e – l = n (n – 1) e – l = l ² e – l = l ² e – l = e l Þ n (n – 1) e – l = l ².E (X ²) = l ² + l.
Var (X) = l ² + l – l ² = l.
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