Loi géométrique.
Loi géométrique.
1. Définitions.
2. Propriétés.
1°/ Equivalence des définitions.
2°/ Espérance mathématique.
3°/ Variance.
1. Définitions.
Considérons une épreuve de Bernoulli dans laquelle le succès a une probabilité p.
On note q la probabilité 1 – p de l'échec.
On répète l'épreuve de Bernoulli de façon indépendante jusqu'à l'obtention d'un succès.
Soit X le nombre de répétitions nécessaires à l'obtention d'un succès.
L'événement X = n est la conjonction de n – 1 échecs suivi d'un succès.
Comme les épreuves successives sont indépendantes, les probabilités se multiplient :
On note q la probabilité 1 – p de l'échec.
On répète l'épreuve de Bernoulli de façon indépendante jusqu'à l'obtention d'un succès.
Soit X le nombre de répétitions nécessaires à l'obtention d'un succès.
L'événement X = n est la conjonction de n – 1 échecs suivi d'un succès.
Comme les épreuves successives sont indépendantes, les probabilités se multiplient :
Cette loi de probabilité est appelée loi géométrique de paramètre p sur N*.
La relation "X suit une loi géométrique de paramètre p sur N*" est notée X
Geom* (p).
La relation "X suit une loi géométrique de paramètre p sur N*" est notée X
Geom* (p).
Par analogie, on dit que X suit une loi géométrique de paramètre p sur N, si sa loi de probabilité est donnée par:
La relation "X suit une loi géométrique de paramètre p sur N" est notée X Geom (p).
Geom (p).2. Propriétés.
1°/ Equivalence des définitions.
Soit X Geom* (p).
Soit Y = X – 1 et n Î N.
P (Y = n) = P (X = n + 1) = p q n, " n Î N.
Donc Y Geom (p).
Réciproquement, si Y Geom (p), soit X = Y + 1 et n Î N*.
P (X = n) = P (Y = n – 1) = p q n – 1, " n Î N*.
Geom* (p).Soit Y = X – 1 et n Î N.
P (Y = n) = P (X = n + 1) = p q n, " n Î N.
Donc Y
Geom (p).Réciproquement, si Y
Geom (p), soit X = Y + 1 et n Î N*.P (X = n) = P (Y = n – 1) = p q n – 1, " n Î N*.
Il y a donc équivalence entre X Geom* (p) et X – 1 Geom (p).
Geom* (p) et X – 1 Geom (p).| X Geom* (p) Û X – 1 Geom (p) |
2°/ Espérance mathématique.
X Geom* (p) Þ E (X) =  X Geom (p) Þ E (X) =  |
a) Soit X Geom* (p).
E (X) = 
n P (X = n) = n p q n – 1 = p n q n – 1
n q n – 1 est la dérivée par rapport à q de 
q n = 
, puisqu'on peut dériver terme à terme une série entière à l'intérieur du cercle de convergence.
Doncn q n – 1 = 
= 
et E (X) = p n q n – 1 = .
n P (X = n) = n p q n – 1 = p n q n – 1n q n – 1 est la dérivée par rapport à q de q n = , puisqu'on peut dériver terme à terme une série entière à l'intérieur du cercle de convergence.Donc
n q n – 1 = = et E (X) = p n q n – 1 = .
b) Soit X Geom (p).
Alors Y = X + 1 Geom* (p). D'après le résultat précédent E (Y) = .
D'où E (X) = E (Y – 1) = E (Y) – 1 = – 1 =
Geom* (p). D'après le résultat précédent E (Y) = .D'où E (X) = E (Y – 1) = E (Y) – 1 =
– 1 =
3°/ Variance:
Les relations Var (X + 1) = Var (X – 1) = Var (X) font qu'il n'y a pas besoin de distinguer loi géométrique sur N et loi géométrique su N* pour le calcul de la variance : le résultat est identique.
X Geom* (p) ou X Geom (p) Þ Var (X)=  |
En effet, soit X Geom* (p).
Var (X) = E (X ²) – (E (X)) ² = E (X ²) –
E (X ²) = E (X (X – 1)) + E (X) =n (n – 1) p q n – 1 +
n (n – 1) p q n – 1 = 
n (n – 1) p q n – 1 = p q n (n – 1) q n – 2
n (n – 1) q n – 2 est la dérivée seconde de q n = par rapport à q.
n (n – 1) q n – 2 = 
= 
E (X ²) = 2 + = 
–
Var (X) = – =
Geom* (p).Var (X) = E (X ²) – (E (X)) ² = E (X ²) –
E (X ²) = E (X (X – 1)) + E (X) =
n (n – 1) p q n – 1 + n (n – 1) p q n – 1 = n (n – 1) p q n – 1 = p q n (n – 1) q n – 2n (n – 1) q n – 2 est la dérivée seconde de q n = par rapport à q.n (n – 1) q n – 2 = = E (X ²) = 2
+ = – Var (X) =
– = 
ليست هناك تعليقات