Fonction caractéristique et transformation de Fourier

1. Fonction caractéristique d'une variable aléatoire continue.

1.1. Transformation de Fourier.

Etant donnée une fonction numérique f intégrable, on appelle transformée de Fourier de f la fonction numérique F f : R ® C, définie par :

F f (u) = f (x) e ^{2 i p u x} dx

Note : translation et dérivation.

La propriété fondamentale de la transformation de Fourier est de transformer un produit de convolution « en produit :

f (x) F (u) et g (x) G (u)Þ (f « g) (x) = f (t) g (t – x) dt F (u) G (u)

• Au sens des distributions, une translation de vecteur a dans R est un produit de convolution par la distribution de Dirac d a (et d 0 est l'élément unité du produit de convolution).

f (x) F (u) et da e i u a
Þ f (x – a) = d a « f (x)e i u a F (u)

• Au sens des distributions, la dérivation est un produit de convolution par d '0 :

f (x) F (u) et d ' 0 uÞ f ' (x) = d ' 0 « f (x)u F (u)

1.2. Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle.

Etant donnée une variable aléatoire réelle X , on appelle fonction caractéristique de X la fonction numérique F _X définie par :

F X (u) = E (e i u X )

1. Si X est une variable aléatoire réelle de densité de probabilité f, la fonction caractéristique de X est liée à la transformée de Fourier F f de sa densité de probabilité f par

F _X (u) = F f 
2. Si X est une variable aléatoire discrète de valeurs x _k, k ³ 1, sa fonction caractéristique prend la forme d'une série de Fourier :

F _X (u) = P (X = x _k) e ^{i u x _k}
Note.

La théorie des distributions permet d'associer à une loi de probabilité définie par :

P (X = x _k) = p _k, k ³ 1,

la "distribution de probabilité" p _k d _x k,
où d _x k est la distribution de Dirac au point x _k.
La transformée de Fourier de la distribution d _a est l'application u e ^{– 2 i p u a}.
De sorte que la fonction caractéristique de X est encore liée à la transformée de Fourier de sa distribution de probabilité par la même relation :

F _X (u) = F f 
3. Si X est une variable aléatoire discrète de valeurs entières k ³ 0, sa fonction caractéristique est liée à sa fonction génératriceg _X par

F _X (u) = g _X (e ^{i u} )

 1.3. Fonction caractéristique d'un couple de variables aléatoires réelles.

La fonction caractéristique d'un couple (X, Y) est la fonction numérique de R ² dans C définie par :

F _(X, Y) (u, v) = E (e ^{i (u X + v Y)}) = E (e ^{i u X} e ^{i v Y})
Elle est liée à la transformée de Fourier de la densité ou de la distribution de probabilité f par :

F _(X, Y) (u, v) = F f –, – 

2. Propriétés de la fonction caractéristique.

2.1. Réciprocité de la transformation de Fourier.

La fonction caractéristique F _X d'une variable aléatoire réelle X définit parfaitement la loi de probabilité f de X(réciprocité de la transformation de Fourier F) et on peut écrire

f (x) = F _X (u) e ^{– i u x} du.

Le facteur de normalisation  assure que o F est l'application identique, et que F o  est l'application identique (dans l'espace des distributions tempérées).

2.2. Indépendance.

Si deux variables aléatoires réelles X et Y sont indépendantes, la fonction caractéristique de la somme est le produit des fonctions caractéristiques, (la réciproque est fausse).

F _X + Y (u, v) = F_X (u) F_Y (v)

2.3. Espérance, variance, moments.

L'espérance E (X) s'exprime à l'aide de la fonction caractéristique F _X par :

E (X) = – i F ' _X (0)

La variance Var (X) s'exprime à l'aide de la fonction caractéristique F _X par :

Var (X) = – F " _X (0) + (F ' _X (0)) ²

Le moment d'ordre k ³ 0, s'exprime par :

m k = (– i) k F X (k) (0)