Loi normale

1. Variable aléatoire réelle de loi normale.

1.1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire réelle à densité X a une loi de probabilité normale de paramètres µ et s si, et seulement si, sa densité de probabilité est donnée par la formule :

f (µ, s) (x) =

د

Dans ce cas, on dit aussi que X est une variable aléatoire normale de paramètres µ et s.
Cette relation est notée X  G (µ, s ²). (Le G rappelle que la loi normale est souvent appelée loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss).

Remarque : comme f _(µ, s) est une densité de probabilité, le paramètre s est nécessairement un nombre réel > 0.

Le coefficient  est un coefficient de normalisation qui assure que la somme des probabilités est 1 :

f _(µ, s) dx = 1

Démonstration.

f _(µ, s) dx =  dx

Faisons le changement de variable u =  : dx = s du.
Lorsque x tend vers – ¥, u tend vers – ¥.
Lorsque x tend vers + ¥, u tend vers + ¥.

f _(µ, s) dx = e du

Cette relation montre déjà que l'intégrale f _(µ, s) dx ne dépend ni de µ, ni de s.
Pour calculer e du, posons v =  : du = dv.
e du = e ^– v ² dv.
Posons I = e ^– v ² dv.
On peut écrire :
I ² = e ^– x ² dx × e ^– y ² dy = e ^{– (x ² + y ²)} dx dy (Fubini)
Le changement de coordonnées polaires du plan donne :

I ² = e ^{– (x ² + y ²)} dx dy = e ^– r ² r dr dq = dq × e ^– r ² r dr.
I ² = 2 p × –  e ^– r ² = p.
I = e ^– v ² dv = 

Il en résulte :

e du = I = 

e du =

f _(µ, s) dx = e du = 1

1.2. Espérance et variance.

Si X est une variable aléatoire normale de paramètres µ et s :

E (X) = µ Var (X) = s ²

Autrement dit, pour la loi normale de paramètres µ et s, µ est l'espérance mathématique et s l'écart-type.

Démonstration.

1°/ Par définition, E (X) = x  dx.
Faisons le changement de variable u =  : dx = s du.
Lorsque x tend vers – ¥, u tend vers – ¥.
Lorsque x tend vers + ¥, u tend vers + ¥.

E (X) = (µ + u s) e du = e du + u e du.

u e du = u e du
u e du est l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à 0 : elle est nulle, et sa limite lorsque A tend vers l'infini est 0. Il reste :

E (X) = e du.

Nous avons calculé plus haut e du = , donc E (X) = µ.
2°/ Var (X) = E ((X – E (X)) ²) = (x – µ) ²  dx.
Faisons le changement de variable u =  : dx = s du.

Var (X) =  u ² e du.

Intégrons par parties en prenant dv = u e du, soit v = – e.

 u ² e du = u dv = u v – v du = [u ² e ^– u ²] +  e du
= 0 +  = 

Il vient donc :

Var (X) = s ².

1.3. Loi normale centrée réduite.

Centrée signifie E (X) = 0.
Réduite signifie Var (X) = 1.
Pour une variable normale de paramètres µ et s, nous avons E (X) = µ et Var (X) = s ².
La loi normale centrée réduite est donc définie par la densité de probabilité correspondant à µ = 0 et s = 1 :

f (0, 1) (u) =  e

Une variable normale centrée réduite est donc une variable aléatoire réelle U G (0, 1), de moyenne 0 et d'écart-type 1.

1.4. Fonction de répartition.

F (µ, s) (x) = F (0, 1)

Cette relation montre que pour calculer la fonction de répartition de X G (µ, s ²), il suffit de connaître la fonction de répartition de U G (0, 1).
Cette relation montre aussi que X G (µ, s ²) Þ U =  G (0, 1).
C'est un résultat très important en pratique : il permet de calculer toute probabilité relative à la loi normale grâce à la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite.

Démonstration.

Soit X G (µ, s ²), une variable normale de paramètres µ et s.
Sa fonction de répartition F _(µ, s) (x) est définie par :

F _(µ, s) (x) = P (X < x) = f _(µ, s) (t) dt = edt.

Pour calculer l'intégrale, faisons le changement de variable v =  :

F _(µ, s) (x) = e dv

Or si U G (0, 1) est une variable normale centrée réduite, sa fonction de répartition F _{(0, 1)} est définie par :

F _{(0, 1)} (u) = e dv

Nous obtenons donc :

F (µ, s) (x) = F (0, 1)

La formule F _(µ, s) (x) = F _{(0, 1)} montre que si X G (µ, s ²), alors la variable aléatoire U =  est une variable normale centrée réduite, puisque sa fonction de répartition est définie par :

P (U < u) = P   < u = P (X < µ + u s) = F _(µ, s) (µ + u s) = F _{(0, 1)} (u)

1.5. Fonction caractéristique.

1°/ La fonction caractéristique d'une variable normale U centrée réduite est donnée par :

FC U (t) = e

2°/ La fonction caractéristique d'une variable normale X de paramètres µ et s est donnée par :

FC X (t) = e i µ t e

Démonstration.

1°/ Soit U G (0, 1) une variable normale centrée réduite.
Sa fonction caractéristique FC _U : R ® C, est définie par :

FC _U (t) = E (e ^{i t U} ) = e ^{i t u} e du

FC _U (t) = edu

u ² – 2 i t u = (u – i t) ² + t ²

FC _U (t) = e edu

Posons v = u – i t.
Lorsque u parcours l'axe réel de – A à + A, v parcours, dans C, une parallèle à l'axe réel, à l'ordonnée – t, de – A – i t à A – i t.

FC _U (t) = e e dv.

Or la fonction e n'a aucun point singulier dans C, donc l'intégrale d'un point à un autre ne dépend pas du chemin suivi (théorème de Cauchy).

e dv = e dv + e dv + e dv.

Sur les côtés [– A – i t, – A ] et [A, A – i t], e est majoré en module par e, de sorte que l'intégrale de e y est majorée en module par

e × | t |

qui tend vers 0 lorsque A tend vers l'infini.
Il reste donc :

FC _U (t) = e e dv = ee dv

Et comme on a e dv = , il reste :

FC U (t) = e

2°/ Soit X une variable normale de paramètres µ et s.
Nous savons déjà que la variable aléatoire U =  est une variable normale centrée réduite.
La relation X = µ + U s entraîne 

FC _X (t) = F _{s U + µ} (t) = e ^i µ t FC _U (s t) = e ^i µ t e

1.6. Somme de variables aléatoires normales indépendantes.

Toute somme finie de variables normales indépendantes est une variable normale.      L'espérance de la somme est la somme des espérances.      La variance de la somme est la somme des variances.

Démonstration.

1°/ Somme de deux variables normales indépendantes.

Soient X ₁ une variable normale de paramètres µ ₁ et s ₁, et X ₂ une variable normale de paramètres µ ₂ et s ₂ indépendante de X₁.
Nous savons déjà que la fonction caractéristique de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est le produit des fonctions caractéristiques des deux variables :

FC _X 1 + X 2 (t) = FC _X 1 (t) × FC _X 2 (t)

Nous obtenons donc :

FC _X 1 + X 2 (t) = e ^i µ 1 t e× e ^i µ 2 t e
     = e ^{i (µ 1 + µ 2) t} e

et cette formule montre que X ₁ + X ₂ est une variable normale d'espérance µ ₁ + µ ₂ et de variance s ₁ ² + s ₂ ².

2°/ Somme d'une nombre fini ³ 2 de variables normales indépendantes.

Bien entendu, ce résultat se généralise immédiatement par récurrence à toute somme finie de variables normales indépendantes.

1.7. Combinaison linéaire de variables normales.

Si X est une variable normale de paramètres µ et s, a et b des constantes réelles, alors a X + b est une variable normale de paramètres a µ + b et | a | s.

X ~® G (µ, s) Þ a X + b ~® G (a µ + b, | a | s)

Si X ₁ et X ₂ sont des variables normales indépendantes de paramètres (µ ₁, s ₁) et (µ ₂, s ₂), et a et b des constantes réelles, alors a X₁ + b X₂ est une variable normale de paramètres :

(a µ ₁ + b µ ₂, )

X 1 ~® G (µ 1, s 1) et X 2 ~® G (µ 2, s 2) Þ a X1 + b X2 ~® G (a µ 1 + b µ 2, )

Si les variables normales X ₁ et X ₂ ne sont pas indépendantes, a X₁ + b X₂ est une variable normale de paramètres :

(a µ ₁ + b µ ₂, )

1.8. Utilisation de la table de la fonction de répartition F.

La fonction de répartition d'une variable normale de paramètres (µ, s) peut toujours s'exprimer à l'aide de la fonction de répartition F de la variable normale centrée réduite :

P (X < x) = F 
Pour tout intervalle de bornes (a, b), éventuellement infinies, on a :

P (a < X < b) = F  – F 
Les valeurs F (u) de la fonction de répartition F de la variable normale centrée réduite se lisent dans la table pour u ³ 0.


Pour u < 0, on applique la formule de symétrie

F (u) = 1 – F (– u)
en lisant F (– u) dans la table :

F (– 0, 52) = 1 – F (0,52) = 1 – 0,6985 = 0,3015

Valeurs souvent utilisées (les seules à connaître, en pratique) :

F (1,645) = 0,9500, qui sert dans les tests unilatéraux à 5 %.
F (1,96)   = 0,9750, qui sert dans les tests bilatéraux à 5 %.

2. Loi de Laplace-Gauss à n dimensions.

On dit qu'un vecteur aléatoire (X ₁, ... , X _n) suit une loi de Laplace-Gauss (centrée) à n dimensions si sa densité de probabilité est de la forme :

f _(X 1, ... , X n) (x ₁, ... , x _n) = K e

où Q est une forme quadratique positive non dégénérée.
Dans ce cas, si g est le déterminant de la matrice de Q, produit des valeurs propres, on a K = .
On peut montrer que les lois marginales d'un vecteur aléatoire qui suit une loi de Laplace-Gauss à n dimensions, sont des lois normales.

La réciproque est fausse : ce n'est pas parce que X ₁, ... , X _n, suivent des lois de Laplace-Gauss que (X ₁, ... , X _n) suivra une loi de Laplace-Gauss à n dimensions.








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