Loi du Khi deux

Loi du c ² de Karl Pearson.

1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire réelle à densité X suit une loi de probabilité du Khi deux à n degrés de liberté (n entier > 0) si, et seulement si, sa densité de probabilité est donnée par la formule :

f n (x) =  e x, x > 0.

Cette relation est notée X  c _n².
Dans cette formule, G est la fonction Gamma d'Euler définie par :

G (x) = e ^– u u ^{x – 1} du.

Cette loi de probabilité est une loi Gamma de paramètres l =  et a = , la loi Gamma étant définie par sa densité de probabilité :

f _(l, a) (x) = x ^{a – 1} e ^– l x, x ³ 0.
On a représenté ci-dessus la loi du c ² pour diverses valeurs de n, depuis n = 1 (loi en jaune), jusqu'à n = 30 (rouge), en passant par n = 2 (vert), n = 4 (bleu) et n = 10 (magenta).
Pour n = 2, la loi du c ² à 2 degrés de liberté est une loi exponentielle de paramètre l = .

2. Espérance et variance.

Si X est une variable aléatoire du c ² à n degrés de liberté :

E (X) = n. Var (X) = 2 n.

[En effet, le carré d'une variable normale centrée réduite a, pour espérance, 1, et pour variance 2.]

3. Interprétation de la loi du c ².

La loi du c ² à n degrés de liberté est la loi de probabilité de la somme des carrés de n variables normales centrées réduites indépendantes entre elles.
La loi du c ² à 2 degrés de liberté est la loi exponentielle de paramètre l = .
La loi du c ² à n degrés de liberté est la loi Gamma de paramètres l =  et a = .

4. Utilisation de la table de la fonction de répartition.

La table de la fonction de répartition donne la valeur de c ² pour laquelle la probabilité d'une valeur inférieure à c ² suivant le nombre n de degrés de liberté est a = F _n (c ² ).
Pour les grandes valeurs de n, la loi de probabilité de c ² tend vers une loi normale de moyenne n et de variance 2 n.
Si n est suffisamment grand, la variable aléatoire  suit, à peu près, une loi normale centrée réduite.