Loi de Student

Variable aléatoire réelle de loi de Student.

1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire réelle à densité X a une loi de probabilité de Student à ndegrés de liberté (n entier > 0) si, et seulement si, sa densité de probabilité est donnée par la formule :

f n (x) =

Cette relation est notée X  T _n.
On a représenté ci-contre la loi de Student pour diverses valeurs de n, depuis n = 1 (loi de Cauchy en rouge), jusqu'à l'infini (loi normale en vert), en passant par n = 2 (jaune) et n = 4 (bleu).
Cette loi de Student est aussi appelée la loi T, ou loi de Student-Fisher à n degrés de liberté (d.d.l.).
Dans cette formule, G est la fonction Gamma d'Euler définie par :

G (x) = e ^– u u ^{x – 1} du.

2. Espérance et variance.

Si X est une variable aléatoire de Student à n degrés de liberté :

E (X) = 0 Var (X) =

L'espérance n'existe que pour n > 1.
Lorsque l'espérance existe, elle est nulle, puisque la loi est symétrique autour de 0.
La variance n'existe que pour n > 2.
La variance est toujours supérieure à 1 et tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

3. Interprétation de la loi de Student.

La loi de Student à n degrés de liberté est la loi de probabilité du quotient d'une variable normale centrée réduite (Laplace-Gauss) par la racine carrée de la somme des carrés de n variables normales centrées réduites indépendantes entre elles et indépendantes de la première variable.
Cette loi a été mise en évidence par le probabiliste William E. Gosset, à qui la firme qui l'employait imposait de signer ses travaux du pseudonyme de Student : la présence d'un statisticien dans l'état-major de direction d'une entreprise industrielle constituait alors un secret de fabrication.
Pour n = 1, la loi de Student s'appelle loi de Cauchy, ou loi de Lorentz.
Ø C'est la loi de probabilité de tan q lorsque q est distribuée uniformément entre –  et + .
Ø C'est aussi la loi du rapport de deux variables normales centrées réduites indépendantes.
Ø Sa densité de probabilité est .
La loi de Student, c'est aussi :
— la loi de probabilité de la racine carrée d'une variable de Fisher-Snedecor F _1, n.
— la loi de probabilité du rapport d'une variable normale centrée réduite et de la racine carrée d'une variable de c ² divisée par son nombre de degrés de liberté, indépendante de la première.

4. Utilisation de la table de la fonction de répartition.

La table de la fonction de répartition donne la valeur de t pour laquelle la probabilité d'une valeur inférieure à t suivant le nombre n de degrés de liberté, est égale à a.
Elle ne donne que les valeurs positives de t, correspondant à des valeurs de probabilité supérieures à 0,5.
A cause de la symétrie de la loi de Student, on pourra calculer les valeurs négatives de t par la formule :

F (– t) = 1 – F (t).
Pour n infini, les valeurs de t sont les valeurs données par la fonction de répartition normale centrée réduite.