Loi Gamma

Loi Gamma

1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire réelle à densité X suit une loi Gamma de paramètres l et a (l et a étant des réels > 0) si, et seulement si, sa densité de probabilité est donnée par la formule :

f (l, a) (x) = x a – 1 e – l x, x ³ 0.

Cette relation est notée X  G _(l, a).
Dans cette formule, G est la fonction Gamma d'Euler définie par :

G (x) = e ^– u u ^{x – 1} du.

 

 Loi d'Erlang

Lorsque a est un entier n + 1, et lorsque l = 1, la loi Gamma s'écrit :

f _{(1, n + 1)} (x) =  x ⁿ e ^– x, x ³ 0.

C'est ce qu'on appelle la loi d'Erlang de paramètre n.
Sa fonction de répartition est :

F _X (x) =  u ⁿ e ^– u du.

Si l'on considère la variable de Poisson Y de paramètre x, on a :

P [Y > n] = F _X (x)

Pour le démontrer, on établit d'abord, par récurrence, la formule :

e^– u  + e^– u  = 0
On pose F_n (u) = e^– u  et S_n (u) = e^– u .
L'hypothèse de récurrence est : F_n (u) + S '_n (u) = 0
On a :

S_{n + 1} (u) = F_{n + 1} (u) + S_n (u)
S '_{n + 1} (u) = F '_{n + 1} (u) + S '_n (u)
F '_{n + 1} (u) = e^– u  = e^– u  – e^– u  = F_n (u) – F_{n + 1} (u)
S '_{n + 1} (u) = F_n (u) – F_{n + 1} (u) + S '_n (u)
S '_{n + 1} (u) = – F_{n + 1} (u)
F_{n + 1} (u) + S '_{n + 1} (u) = 0

La formule de l'hypothèse de récurrence est donc vraie pour n + 1 dès qu'elle est vraie pour n.
Comme elle est vraie de façon évidente pour n = 0, elle est vraie pour tout entier naturel n.
Il résulte de cette formule, par intégration, que la fonction de répartition de la variable de Poisson de paramètre u > 0 est donnée par :

S _n (u) = e^– u  = 1 – xⁿ e^– x dx
Donc, si Y suit une loi de Poisson de paramètre u :

P (Y > n) = xⁿ e^– x dx = = F _X (u)

2. Fonction caractéristique.

La fonction caractéristique de la loi Gamma de paramètres l et a est :

1 – i  ^a
En obtient une fonction du même type en multipliant des fonctions de ce type avec le même l.
Il en résulte qu'une somme finie de variables aléatoires indépendantes de lois Gamma ayant le même paramètre l, est encore une variable aléatoire de loi Gamma.
Par exemple, toutes les variables de c ² ont le même l = , donc la somme d'une nombre fini de variables de c ² est encore une variable de c ². 

3. Espérance et variance.

Si X est une variable aléatoire de loi Gamma de paramètres l et a :

E (X) = . Var (X) = .

[On l'obtient facilement par la fonction caractéristique.]

4. Interprétation de la loi Gamma.

1°/ La loi Gamma de paramètres l =  et a = , n Î N*, s'appelle loi du c ² de Karl Pearson à n degrés de liberté : c'est la loi de probabilité de la somme des carrés de n variables normales centrées réduites indépendantes entre elles.
Sa densité de probabilité est :

f (x) =  xe , x > 0.
2°/ La loi Gamma de paramètres l > 0 et a = 1, s'appelle la loi exponentielle de paramètre l.
Sa densité de probabilité est :

f (x) = l e ^– l x, x > 0.
Ainsi, pour n = 2, la loi du c ² de Karl Pearson à 2 degrés de liberté est une loi exponentielle de paramètre l = .
3°/ La loi Gamma de paramètres l > 0 et a = n entier ³ 1, est la loi de probabilité de la somme de n variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre l.
4°/ La loi Gamma de paramètres l = 1 et a = n + 1, entier, s'appelle loi d'Erlang de paramètre n. Elle est liée à la loi de Poisson. Sa densité de probabilité est :

f (x) =  x ⁿ e ^– x, x ³ 0.