Limites de fonctions numériques d'une variable réelle
Limite finie :
On dit qu'une
fonction numérique f d'une variable réelle x tend
vers une limite finie l lorsque x tend
vers x 0 si, et seulement si :
pour tout e > 0, il existe un réel h > 0 tel que
| x – x 0 | < h Þ | f (x)
– l |
< e.
Lorsque la fonction f tend vers une limite l,
lorsque x tend vers x 0, on dit
que f "possède" une limite l en x 0.
Limite infinie :
On dit qu'une fonction numérique f d'une variable réelle x tend vers l'infini lorsque x tend vers x 0 si, et seulement si :
pour tout A > 0, il existe un réel h > 0 tel que | x – x 0 | < h Þ | f (x) | > A.
Une fonction f qui tend vers l'infini, lorsque x tend vers x 0, n'a pas de limite finie en x 0.
pour tout A > 0, il existe un réel h > 0 tel que | x – x 0 | < h Þ | f (x) | > A.
Une fonction f qui tend vers l'infini, lorsque x tend vers x 0, n'a pas de limite finie en x 0.
Règles de calcul des limites :
1. L'exponentielle l'emporte sur la puissance : lorsque l'exponentielle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit d'une fraction rationnelle par l'exponentielle a la même limite que l'exponentielle .
x s e – x = 0, pour tout s > 0.
= 0, pour tout s > 0.
2. La puissance l'emporte sur le logarithme : lorsqu'une fraction rationnelle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit de la fraction rationnelle par un logarithme a la même limite que la fraction rationnelle .
x s ln x = 0, pour tout s > 0.
= + ¥, pour tout s > 0.
Mais attention ! cette règle ne s'applique pas si l'on a autre chose que ln x, par exemple : 
= 1
3. Théorème des gendarmes. Si, au voisinage de a, une fonction f est minorée par une fonction qui tend vers l, lorsque x tend vers a, et majorée par une fonction qui tend aussi vers l, lorsque x tend vers a, alors la fonction f tend aussi vers l, lorsque x tend vers a.
g (x) = l et h (x) = l et g (x) 
f (x) h (x) Þ f (x) = l.
La limite d'une fonction constante est la valeur de cette constante.
4. Le passage à la limite est compatible avec la somme, avec le produit, avec l'inverse :
(f (x) + g (x)) = f (x) + g (x) ;
(f (x) × g (x)) = f (x) × g (x) ; 
= 
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1. L'exponentielle l'emporte sur la puissance : lorsque l'exponentielle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit d'une fraction rationnelle par l'exponentielle a la même limite que l'exponentielle .
x s e – x = 0, pour tout s > 0.
= 0, pour tout s > 0.
2. La puissance l'emporte sur le logarithme : lorsqu'une fraction rationnelle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit de la fraction rationnelle par un logarithme a la même limite que la fraction rationnelle .
x s ln x = 0, pour tout s > 0.
= + ¥, pour tout s > 0.
Mais attention ! cette règle ne s'applique pas si l'on a autre chose que ln x, par exemple : = 1
3. Théorème des gendarmes. Si, au voisinage de a, une fonction f est minorée par une fonction qui tend vers l, lorsque x tend vers a, et majorée par une fonction qui tend aussi vers l, lorsque x tend vers a, alors la fonction f tend aussi vers l, lorsque x tend vers a.
g (x) = l et h (x) = l et g (x) f (x) h (x) Þ f (x) = l.
La limite d'une fonction constante est la valeur de cette constante.
4. Le passage à la limite est compatible avec la somme, avec le produit, avec l'inverse :
(f (x) + g (x)) = f (x) + g (x) ;
(f (x) × g (x)) = f (x) × g (x) ; =
x s e – x = 0, pour tout s > 0. = 0, pour tout s > 0.2. La puissance l'emporte sur le logarithme : lorsqu'une fraction rationnelle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit de la fraction rationnelle par un logarithme a la même limite que la fraction rationnelle .
x s ln x = 0, pour tout s > 0.= + ¥, pour tout s > 0.Mais attention ! cette règle ne s'applique pas si l'on a autre chose que ln x, par exemple :
= 13. Théorème des gendarmes. Si, au voisinage de a, une fonction f est minorée par une fonction qui tend vers l, lorsque x tend vers a, et majorée par une fonction qui tend aussi vers l, lorsque x tend vers a, alors la fonction f tend aussi vers l, lorsque x tend vers a.
g (x) = l et h (x) = l et g (x) f (x) h (x) Þ f (x) = l.La limite d'une fonction constante est la valeur de cette constante.
4. Le passage à la limite est compatible avec la somme, avec le produit, avec l'inverse :
(f (x) + g (x)) = f (x) + g (x) ;(f (x) × g (x)) = f (x) × g (x) ; = limites de fonctions rationnelles
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