Continuité de fonctions numériques d'une variable réelle

Continuité en un point.

On dit qu'une fonction numérique f d'une variable réelle x en continue en x ₀ si, et seulement si :

     pour tout e > 0, il existe un réel h > 0 tel que | x – x ₀ | < h Þ | f (x) – f (x ₀) | < e.

Autrement dit la fonction f en continue en x ₀, si elle possède une limite en x ₀ et si cette limite est f (x ₀).

Continuité.

On dit qu'une fonction numérique f d'une variable réelle x est continue dans un intervalle A de R si, et seulement si elle est continue en chaque point de A.

Une fonction f qui est continue en chaque point de R est dite continue.

Propriétés des fonctions continues.

1. La continuité est compatible avec la somme, avec le produit, avec l'inverse :

Si f et g sont des fonctions continues en un point x ₀ Î R, alors :

f + g est continue en x ₀.

fg est continue en x ₀.

 est continue en x ₀ si g (x ₀) ¹ 0.

2. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle (théorème de Weierstrass).

3. Toute bijection continue d'un intervalle sur lui-même possède un point fixe (théorème du point fixe).

4. Toute application croissante d'un intervalle sur lui-même possède un point fixe.

Fonction logarithme neperien.

La "fonction logarithme neperien" est l'application ln : ] 0, + ¥ [ ® R, définie par l'intégrale:

ln (x) = .

Pour x = 1, on a donc ln 1 = 0.

C'est une application strictement croissante car, pour x > a, on peut écrire :

ln x – ln a =  –  = .

La fonction à intégrer  est strictement positive sur l'intervalle d'intégration : son intégrale est strictement positive, ln x > ln a.

L'application logarithme neperien est strictement croissante.

Etant strictement croissante, elle réalise une injection de ] 0, + ¥ [ sur son image.

Elle n'est pas bornée inférieurement, la limite de ln (x) lorsque x tend vers 0 est – ¥.

Elle n'est pas bornée supérieurement, la limite de ln (x) lorsque x tend vers + ¥ est + ¥.

Cette application est continue et dérivable.

En effet, soit a Î ] 0, + ¥ [.

a) Continuité.

Pour tout x Î ] 0, + ¥ [, on peut écrire :

ln x – ln a =  –  = .

Pour calculer l'intégrale, faisons un changement de variable t = .

dt = , dy = a dt, y = a t,  = 

Pour y = a, t = 1. Pour y = x, t = .

ln x – ln a =  = ln 

Remarquons que, pour x = 1, cette relation s'écrit ln  = – ln a et qu'avec b = , elle devient ln (b x) = ln b + ln x.

Sur l'intervalle  ou , l'application t   est décroissante.

Elle atteint donc son maximum pour la borne inférieure de l'intervalle.

Ce maximum est le plus grand des deux nombres 1 et : il est positif.

La valeur absolue de l'intégrale est inférieure ou égale au produit de la longueur de l'intervalle par le maximum de la fonction à intégrer :

| ln x – ln a |   × Max  = Max  × | x – a |

Lorsque x tend vers a, comme l'application x   est continue,  tend vers , donc Max  tend vers .

Le produit Max  × | x – a | tend donc vers 0 et | ln x – ln a | tend vers 0.

La fonction logarithme est continue en a, pour tout a Î ] 0, + ¥ [.

La fonction logarithme neperien est continue.

Comme cette application est continue, et que son image n'est bornée ni inférieurement, ni supérieurement, étant donné un nombre réel positif A aussi grand qu'on veut, on peut toujours trouver un x Î ] 0, + ¥ [ tel que ln (x) < – A et un y Î ] 0, + ¥ [ tel que ln (y) > A.

Comme f est continue, elle passe par toutes les valeurs intermédiaires entre 0 et f (x) et entre 0 et f (y).

Donc – A et A sont les images par ln d'éléments de ] 0, + ¥ [, de sorte que ln est surjective et son image est R tout entier.

La fonction logarithme neperien réalise donc une bijection continue de ] 0, + ¥ [ sur R.

b) Dérivabilité.

Pour x différent de a, on peut écrire :

 = 

 est la valeur moyenne de la fonction  entre a et x.

Comme la fonction  est continue strictement décroissante, la valeur moyenne est un nombre compris entre  et (théorème de la moyenne).

Il existe un c strictement compris entre a et x tel que  =  soit compris entre  et .

Lorsque x tend vers a,  tend vers , donc  tend lui aussi vers  ("théorème des gendarmes").

Par définition, la dérivée de ln en a est donc .

La fonction logarithme neperien est dérivable en a, pour tout a Î ] 0, + ¥ [.

La fonction logarithme neperien est dérivable. Sa dérivée est l'application x  .

Comme la dérivée est continue, la fonction logarithme neperien est de classe C ¹.

C'est une bijection continue de classe C ¹.

Fonction exponentielle.

Soit exp : x  e ^x la fonction exponentielle.

Cette application est définie sur R comme application réciproque de la fonction logarithme neperien.

C'est donc une bijection de R sur ] 0, + ¥ [.

Par définition, e ^x est donc le seul nombre réel t Î ] 0, + ¥ [ solution de l'équation x = , avec x Î R.

= x

t = e ^x Û x = ln t

La propriété ln 1 = 0 s'écrit e ⁰ = 1.

La propriété ln (x y) = ln x + ln y s'écrit e ^{x + y} = e ^x e ^y.

La propriété ln  = – ln x s'écrit e ^– x = .

a) Continuité.

Nous avons démontré que, lorsque x tend vers a, alors ln x tend vers ln a (continuité du logarithme).

Il faut démontrer qu'inversement, lorsque ln x tend vers ln a, alors x tend vers a.

Or dire que ln x tend vers ln a, c'est dire que | ln x – ln a | tend vers 0, c'est donc dire que  tend vers 0 = ln 1.

Or ln  =  ne peut tendre vers 0 que si  tend vers 1, puisque la fonction  est strictement positive.

Donc lorsque ln x tend vers ln a, x tend vers a.

La fonction exponentielle est continue en a, pour tout a Î ] 0, + ¥ [.

La fonction exponentielle est continue.

b) Dérivabilité.

Montrons que, lorsque x tend vers a, alors  tend vers e ^a.

Il revient au même de dire que, lorsque ln x tend vers ln a, alors  tend vers a.

Or on sait déjà que si ln x tend vers ln a, alors x tend vers a (continuité de l'exponentielle) et que si x tend vers a, alors  tend vers  (dérivée du logarithme), donc, par continuité de l'inverse,  tend vers a.

La fonction exponentielle est dérivable en a, pour tout a Î ] 0, + ¥ [.

La fonction exponentielle est dérivable. Sa dérivée est la fonction exponentielle.

Fonction cosinus.

A un point (x, y) du cercle unité de R ², on sait fait correspondre sa première projection.

A un q ΠR, on sait faire correspondre un point (x, y) du cercle unité de R ², de coordonnées polaires (1, q).

La fonction cosinus est l'application composée des deux précédentes : à un q ΠR, elle fait correspondre la projection sur Ox du vecteur d'angle polaire q par rapport à x, et de longueur 1.

cos : R ® [ – 1, 1 ].

Cette application est continue et dérivable.

Sa dérivée est l'application R ® [ – 1, 1 ] qui, à q ΠR, fait correspondre – sin q = cos .

De même, l'application sinus (deuxième projection) est dérivable et sa dérivée est 

cos q = sin  .

Si l'on appelle e ^i q le nombre complexe cos q + i sin q, on a e = i et la dérivée de e ^i q est

cos  + i sin  = e = – sin q + i cos q = i e ^i q = e e ^i q.

Cette fonction e ^i q se comporte tout à fait comme une exponentielle, sauf que son argument est complexe.

La multiplication par e ^i q dans le plan complexe est une rotation d'angle q.

La dérivée de la rotation d'angle q est la rotation d'angle q +.