Mathématiques Obligatoire (Amérique du Nord) - Bac S 2019
Mathématiques Obligatoire (Amérique du Nord) - Bac S 2019
Filière du bac : S
Epreuve : Mathématiques Obligatoire
Niveau d'études : Terminale
Année : 2019
Session : Normale
Centre d'examen : Amérique du Nord
Date de l'épreuve : 28 mai 2019
Durée de l'épreuve : 4 heures
Exercice 1 :
Une usine fabrique des tubes. Dans ce contexte, le candidat doit répondre à des questions de probabilité, utiliser la loi normale, un intervalle de fluctuation asymptotique, et un arbre pondéré à compléter.
Exercice 2 :
Il s'agit d'un exercice de vrai/faux avec 4 affirmations à traiter sur la thématique des nombres complexes.
Exercice 3 :
On étudie les variations d'une fonction numérique avec ln(x), puis d'une suite récurrente pour laquelle il faut déterminer sa convergence et sa limite.
Exercice 4 :
C'est un problème de géométrie dans l'espace, avec un double tétraèdre inclus dans un cube. Il faut calculer des coordonnées de vecteurs, l'équation cartésienne d'un plan, et déterminer si une droite spécifique est perpendiculaire à ce plan.
Epreuve : Mathématiques Obligatoire
Niveau d'études : Terminale
Année : 2019
Session : Normale
Centre d'examen : Amérique du Nord
Date de l'épreuve : 28 mai 2019
Durée de l'épreuve : 4 heures
Exercice 1 :
Une usine fabrique des tubes. Dans ce contexte, le candidat doit répondre à des questions de probabilité, utiliser la loi normale, un intervalle de fluctuation asymptotique, et un arbre pondéré à compléter.
Exercice 2 :
Il s'agit d'un exercice de vrai/faux avec 4 affirmations à traiter sur la thématique des nombres complexes.
Exercice 3 :
On étudie les variations d'une fonction numérique avec ln(x), puis d'une suite récurrente pour laquelle il faut déterminer sa convergence et sa limite.
Exercice 4 :
C'est un problème de géométrie dans l'espace, avec un double tétraèdre inclus dans un cube. Il faut calculer des coordonnées de vecteurs, l'équation cartésienne d'un plan, et déterminer si une droite spécifique est perpendiculaire à ce plan.
SESSION 2019
Série S
Enseignement
Obligatoire - Coefficient 7
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage
de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
Le sujet est composé
de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit
traiter tous les exercices.
Le candidat est
invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que
la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera
que le sujet comporte bien 5 pages
numérotées de 1 à 5.
numérotées de 1 à 5.
Dans cet exercice et sauf
mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.
Une usine fabrique des tubes.
Les questions $1$ et $2$ sont
indépendantes.
On s'intéresse à deux types
de tubes, appelés tubes de type $1$ et tubes de type $2$.
1.
Un tube de type $1$ est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise
entre 1,35 millimètres et $1,65$ millimètres.
a.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type $1$ prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur
exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la
loi normale d'espérance 1,5 et d'écart-type 0,07.
On prélève au hasard un
tube de type $1$ dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le
tube soit accepté au contrôle.
b.
L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de
type $1$. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On
note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de
type $1$ prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son
épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $\sigma_1$ .
Un
tube de type $1$ est prélevé au hasard dans la production issue de la machine
modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à $0,98$ .
(On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z=\frac{X_1-1.5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
2.
Une machine produit des tubes de type $2$ . Un tube de type $2$ est dit «
conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à
l'intervalle $\left[298;302\right]$. Le cahier des charges établit que, dans la production
de tubes de type $2$ , une proportion de $2\%$ de tubes non «conformes pour la
longueur » est acceptable.
On souhaite décider si
la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard
dans la production de tubes de type $2$ un échantillon de $250$ tubes dans leque $10$ tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ».
a.
Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence
des tubes non « conformes pour la longueur » dans un échantillon de $250\%$ tubes.
b.
Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
Des erreurs de réglage dans
la chaîne de production peuvent affecter l'épaisseur ou la longueur des tubes
de type $2$. Une étude menée sur la production a permis de constater que :
- $96\%$ des tubes de type $2$ ont une épaisseur conforme ;
-
parmi
les tubes de type $2$ qui ont une épaisseur conforme, $95\%$ ont une longueur conforme
- $3.6\%$ des tubes de type $2$ ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.
On choisit un tube de type $2$ au hasard dans la production et on considère les événements :
- $E$ : « l'épaisseur du tube est conforme » ;
- $L$ : « la longueur du tube est conforme ».
On modélise l'expérience
aléatoire par un arbre pondéré :
1.
Recopier et compléter entièrement cet arbre.
2.
Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à $0,948$.
Le plan
complexe est muni d'un repère orthonormé direct
$\left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ . Dans
ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations
ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse.
Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Affirmation 1 : L'équation $z-i=i(z+1)$ a pour solution $z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ .
Affirmation 2 : Pour
tout réel $x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$ , le
nombre complexe
$1+e^{2ix}$ admet pour forme exponentielle $2cos(x)e^{-ix}$
Affirmation
3 : Un point $M$ d'affixe $z$ tel que $\vert z-i \vert = \vert z+1 \vert$ appartient à la droite d'équation $y=-x$.
Affirmation
4 : L'équation $z^5+z-i+1=0$ admet une solution réelle.
Exercice 3 : Commun à tous les
candidats (6 points)
Sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$ , on définit
la fonction $f$ par $f(x)=x-ln\left(x+1\right)$.
1.
Étudier le sens de
variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$.
2.
En déduire que pour
tout $x \in \left[0;+\infty\right[$ ,$ln\left(x+1\right)< x$ .
On pose $u_0=1$ et
pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}= u_n-ln\left(u_n+1\right)$ .
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.
1.
Calculer une valeur
approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
2.
a. Démontrer par
récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$ .
b.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$,$u_n<1$ .
c.
Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
3.
On note $l$ la
limite de la suite $(u_n)$ et on admet que$l=f(l)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie $A$. En déduire la valeur de $l$.
4.
a. Écrire un
algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le
plus petit rang $N$ à partir duquel tous les
termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont
inférieurs à $10^{-15}$
Exercice
4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)
On relie les centres de chaque face
d'un cube $ABCDEFGH$ pour former un solide $IJKLMN$ comme sur la figure ci-
dessous.
Plus précisément, les points $I,J,K,L$ $M$ et $N$ sont les
centres respectifs des faces carrées $ABCD$, $BCGF$ ,$CDHG$,$ADHE$,$ABFE$ et $EFGH$ (donc
les milieux des diagonales de ces carrés).
1. Sans utiliser de repère (et donc de
coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites $(IN)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
Dans la suite, on considère le repère
orthonormé $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ dans lequel, par exemple, le point $N$ a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right)$ .
2.
a. Donner les
coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{NC}$ et $\overrightarrow{ML}$.
b.
En déduire que les
droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
c.
Déduire des questions
précédentes une équation cartésienne du plan $(NCI)$ .
3.
a. Montrer
qu'une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est : $x-y+z=1$.
b.
La droite $(DF)$ est-elle
perpendiculaire au plan $(NJM)$ ? Justifier.
c.
Montrer que
l'intersection des plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est une droite dont on donnera un point
et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux
points de la figure.
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