Loi de Fisher-Snedecor

Variable aléatoire réelle de loi de Fisher-Snedecor.

1. Définition.

On dit qu'une variable aléatoire réelle à densité X suit une loi de probabilité de Fisher-Snedecor à (n ₁, n ₂) degrés de liberté (n ₁ et n ₂ entiers > 0) si, et seulement si, sa densité de probabilité, nulle pour x < 0, est donnée, pour x > 0, par la formule :

f(n 1, n 2) (x) = n 1 n 2

Cette relation est notée X  F_(n 1, n 2).
On a représenté ci-contre cette loi F de Fisher-Snedecor pour diverses valeurs de (n ₁, n ₂) : n₂ = 20, n ₁ = 2, 4, 8, 16.
Dans cette formule, G est la fonction Gamma d'Euler définie, lorsque la partie réelle de xest > 0, par :

G (x) = e ^– u u ^{x – 1} du.

La fonction Beta d'Euler est définie, lorsque les parties réelles de x et y sont > 0, par :

B (x, y) = u ^{x – 1} (1 – u) ^{y – 1} du.
Elle vérifie :

B (x, y) = 
de sorte qu'on pourrait la faire intervenir dans la densité de probabilité de Fisher-Snedecor : f_(n 1, n 2) (x) = 

2. Espérance et variance.

Si X est une variable aléatoire de Fisher-Snedecor à (n ₁, n ₂) degrés de liberté :

E (X) = , n 2 ³ 3. Var (X) =  – , n 2 ³ 5.

3. Interprétation de la loi F de Fisher-Snedecor.

La loi F de Fisher-Snedecor à (n ₁, n ₂) degrés de liberté est la loi de probabilité du rapport de deux variables de khi-deux indépendantes divisées par leurs nombres de degrés de liberté (n ₁ pour le numérateur, n ₂ pour le dénominateur).
Pour n ₁ = 1, la loi F de Fisher-Snedecor à (1, n ₂) degrés de liberté est la loi de probabilité du carré d'une variable de Student à n ₂ degrés de liberté.

4. Utilisation de la table de la fonction de répartition.

La table de la fonction de répartition donne, en fonction de n ₁ et n ₂, la valeur de x pour laquelle la fonction de répartition
f_(n 1, n 2) (t) dt vaut 0,975.
Cette table sert à la comparaison des variances de deux populations à partir de deux échantillons.