Bornes, suites croissantes ou décroissantes

Borne supérieure.

Etant donné un ensemble ordonné E et une partie A de E, on appelle borne supérieure de A le plus petit des majorants de A, lorsqu'il en existe un.

Dans l'ensemble des nombres réels, toute partie non vide majorée possède une borne supérieure.

Borne inférieure.

Etant donné un ensemble ordonné E et une partie A de E, on appelle borne inférieure de A le plus grand des minorants de A, quand il en existe un.

Dans l'ensemble des nombres réels, toute partie non vide minorée possède une borne inférieure.

Règles de convergence.

1. Une suite croissante majorée de nombres réels est convergente.

2. Une suite décroissante minorée de nombres réels est convergente.

Limite d'une suite définie par récurrence.

Lorsqu'une suite de nombres réels est définie par une formule du type u _{n + 1} = f (u _n), la limite de la suite, si la suite est convergente, vérifie la relation f(x) = x : c'est un point fixe de la fonction numérique f.

On sait déjà qu'un tel point fixe existe lorsque la fonction f est une application monotone d'un intervalle sur lui-même, ou lorsque la fonction f est une application continue d'un intervalle sur lui-même.