Suites de nombres réels

Suite convergente.

On dit qu'une suite (u _n) _n Î N de nombres réels tend vers une limite l si, et seulement si :

     pour tout e > 0, il existe un entier N tel que n  N Þ | u _n – l | < e.

On dit qu'une suite qui tend vers une limite l, "possède" une limite l.

Une suite qui possède une limite est appelée "suite convergente", ou "suite convergente vers l" si on précise la limite l.

Suite de Cauchy.

On dit qu'une suite (u _n) _n Î N de nombres réels est une suite de Cauchy si, et seulement si :

     pour tout e > 0, il existe un entier N tel que n  N et m  N Þ | u _n – u _m | < e.

Dans R, qui est complet, toute suite de Cauchy possède une limite.

Une suite de Cauchy de nombres rationnels s'appelle une suite régulière.

Pour tout nombre réel x, il existe une suite régulière qui converge vers x.

Règles de convergence.

1. Lorsque e est très petit, et s Î R, 

     · (1 + e) ^s est équivalent à 1 + s e.

     · ln (1 + e) est équivalent à e.

     · e ^e est équivalent à 1 + e.

2. L'exponentielle l'emporte sur la puissance : lorsque l'exponentielle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit d'une fraction rationnelle par l'exponentielle a la même limite que l'exponentielle.

3. La puissance l'emporte sur le logarithme : lorsqu'une fraction rationnelle tend vers 0 ou vers l'infini, le produit de la fraction rationnelle par un logarithme a la même limite que la fraction rationnelle.

4. Théorème des gendarmes. Si le terme général de la suite (u _n) _n ³ 0 est minoré par le terme général d'une suite qui converge vers l, et majoré par le terme général d'une suite qui converge aussi vers l, alors la suite (u _n) _n ³ 0 converge vers l.

5. Lorsque le nombre réel positif r est < 1, r ⁿ tend vers 0 lorsque n Î N tend vers l'infini.

Lorsque le nombre réel positif r est > 1, r ⁿ tend vers l'infini lorsque n Î N tend vers l'infini.

6. Une suite croissante majorée est convergente.

7. Une suite décroissante minorée est convergente.

Règle de Cauchy pour les séries numériques.

Pour une série numérique à termes positifs

u _n

si la suite de terme général

u _n

tend vers une limite L, finie ou infinie, lorsque n tend vers l'infini, alors :

1.      Si L < 1, la série est convergente ;

2.      Si L > 1, la série est divergente ;

3.      Pour L = 1, on ne peut pas conclure, sauf s'il existe entre 1 et 1 + e une infinité de valeurs de u _n, auquel cas la série est divergente.